Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm \(E,F\) lần lượt là trung điểm của

Câu hỏi số 396633:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(C'B'\) và \(C'D'\). Tính diện tích thiết diện của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\).

A. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {17} }}{4}\).

B. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {17} }}{8}\).

C. \(\dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{12}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396633

Giải chi tiết

Trong (A’B’C’D’), gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng A’D’ và A’B’.

Trong (ADD’A’), gọi M là giao điểm của DD’ và AK.

Trong (ABB’A’), gọi N là giao điểm của BB’ và AH.

Thiết diện của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) là ngũ giác AMFEN.

Dễ dàng chứng minh:

\(KF = FE = EH \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{KF}}{{KH}} = \dfrac{{KD'}}{{KA'}} = \dfrac{{KM}}{{KA}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{{HE}}{{KH}} = \dfrac{{HB'}}{{HA'}} = \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Các tam giác KMF, ENH đồng dạng với tam giác AHK tỉ lệ \(\dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow {S_{KMF}} = {S_{ENH}} = \dfrac{1}{9}{S_{AHK}} \Rightarrow {S_{AMFEN}} = \dfrac{7}{9}{S_{AHK}}\)

Xét tam giác AHK có: \(HK = 3EF = \dfrac{3}{2}B'D' = \dfrac{3}{2}.a\sqrt 2 = \dfrac{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2}\), \(AK = AH = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}a} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\)

Khoảng cách từ A đến HK: \(h = \sqrt {A{H^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}HK} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{{13{a^2}}}{4} - \dfrac{{9{{\rm{a}}^2}}}{8}} = \dfrac{{a\sqrt {34} }}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{AHK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {34} }}{4}.\dfrac{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {17} }}{8}\)

\( \Rightarrow {S_{AMFEN}} = \dfrac{7}{9}.\dfrac{{3{a^2}\sqrt {17} }}{8} = \dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{24}}\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.