Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm \(E,F\) lần lượt là trung điểm của

Câu hỏi số 396633:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(C'B'\) và \(C'D'\). Tính diện tích thiết diện của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\).

A. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {17} }}{4}\).

B. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {17} }}{8}\).

C. \(\dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{12}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396633

Giải chi tiết

Trong (A’B’C’D’), gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng A’D’ và A’B’.

Trong (ADD’A’), gọi M là giao điểm của DD’ và AK.

Trong (ABB’A’), gọi N là giao điểm của BB’ và AH.

Thiết diện của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) là ngũ giác AMFEN.

Dễ dàng chứng minh:

\(KF = FE = EH \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{KF}}{{KH}} = \dfrac{{KD'}}{{KA'}} = \dfrac{{KM}}{{KA}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{{HE}}{{KH}} = \dfrac{{HB'}}{{HA'}} = \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Các tam giác KMF, ENH đồng dạng với tam giác AHK tỉ lệ \(\dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow {S_{KMF}} = {S_{ENH}} = \dfrac{1}{9}{S_{AHK}} \Rightarrow {S_{AMFEN}} = \dfrac{7}{9}{S_{AHK}}\)

Xét tam giác AHK có: \(HK = 3EF = \dfrac{3}{2}B'D' = \dfrac{3}{2}.a\sqrt 2 = \dfrac{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2}\), \(AK = AH = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}a} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\)

Khoảng cách từ A đến HK: \(h = \sqrt {A{H^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}HK} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{{13{a^2}}}{4} - \dfrac{{9{{\rm{a}}^2}}}{8}} = \dfrac{{a\sqrt {34} }}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{AHK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {34} }}{4}.\dfrac{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {17} }}{8}\)

\( \Rightarrow {S_{AMFEN}} = \dfrac{7}{9}.\dfrac{{3{a^2}\sqrt {17} }}{8} = \dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{24}}\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.