Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\),

Câu hỏi số 396930:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1,\)\(f\left( 2 \right) = {e^4}\) và \(f(x) > 0,\)\({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\). Tính \(f\left( 1 \right).\)

A. \({e^{\dfrac{3}{4}}}\)

B. \({e^{\dfrac{3}{2}}}\)

C. \(e\)

D. \({e^2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396930

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc tính nguyên hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow f\left( x \right).f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,f\left( x \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \int {1dx = } x + C\\ \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int {\left( {x + C} \right)dx} \\ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + Cx + D\,\,\left( {do\,\,f\left( x \right) > 0} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln f\left( 0 \right) = D = 0\\f\left( 2 \right) = {e^4} \Rightarrow \ln f\left( 2 \right) = \dfrac{{{2^2}}}{2} + 2C + D\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \ln {e^4} = 2 + 2C \Leftrightarrow C = 1\end{array}\)

Khi đó ta có: \(\ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x \Rightarrow \ln f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^{\frac{3}{2}}}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.