Cho hình chóp O.ABC có \(OA = OB = OC = a,\)\(\angle AOB = {60^0},\)\(\angle BOC = {90^0},\)\(\angle AOC =
Cho hình chóp O.ABC có \(OA = OB = OC = a,\)\(\angle AOB = {60^0},\)\(\angle BOC = {90^0},\)\(\angle AOC = {120^0}\). Gọi \(S\) là trung điểm cạnh \(OB\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng
Tam giác \(OAB\) có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB\,\,\left( {gt} \right)\\\angle AOB = {60^0}\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta OAB\) đều \( \Rightarrow AB = a\).
Tam giác \(OBC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}OB = OC\,\,\left( {gt} \right)\\\angle BOC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta OBC\) vuông cân tại \(O\) \( \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \).
Tam giác \(OAC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OC\,\,\left( {gt} \right)\\\angle AOC = {120^0}\end{array} \right.\), áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta có
\(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2} - 2OA.OC.\cos \angle AOC} = a\sqrt 3 \).
Khi đó ta có \(A{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\), do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (định lí Pytago đảo).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), suy ra \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
Chóp \(O.ABC\) có các cạnh bên bằng nhau, do đó chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên \(OH \bot \left( {ABC} \right)\), suy ra \(OH \bot HB\) \( \Rightarrow \Delta OBH\) vuông tại \(H\).
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\), \(J\) là trung điểm của \(SB\).
Vì \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) nên \(IS = IA = IB = IC\) \( \Rightarrow IS = IB\) và \(I \in OH\).
\( \Rightarrow \Delta ISB\) cân tại \(I\), do đường trùng tuyến \(IJ\) đồng thời là đường cao \( \Rightarrow IJ \bot SB\).
Xét \(\Delta OIJ\) và \(\Delta OBH\) có:
\(\angle BOH \) chung;
\(\angle SJI = \angle SHB = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta OIJ \sim \Delta OBH\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{OJ}}{{OH}} = \dfrac{{IJ}}{{HB}} \Rightarrow IJ = \dfrac{{OJ.HB}}{{OH}}\).
Ta có: \(OJ = \dfrac{3}{4}OB = \dfrac{3}{4}a\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(HB = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông có: \(OH = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{a}{2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow IJ = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow R = SI = \sqrt {S{J^2} + I{J^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
