Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = 4mx -

Câu hỏi số 397604:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = 4mx - 3{m^2} - 2m + 3\) và parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2}.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho \(P = \frac{{4{x_1}{x_2} - 2m}}{{{x_1} + {x_2} + 2}}\) có giá trị nguyên.

A. \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}.\)

B. \(m \in \left\{ {2;0; - 1; - 2} \right\}.\)

C. \(m \in \left\{ {1;0; - 1; - 2} \right\}.\)

D. \(m \in \left\{ {2;1;0; - 2} \right\}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:397604

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Vi-et để xử lý biểu thức \(P.\)

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) ta có:

\({x^2} = 4mx - 3{m^2} - 2m + 3\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 3{m^2} + 2m - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4{m^2} - \left( {3{m^2} + 2m - 3} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 3{m^2} + 2m + 3 > 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\,\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m\\{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 2m - 3\end{array} \right.\)

Để tồn tại biểu thức \(P = \frac{{4{x_1}{x_2} - 2m}}{{{x_1} + {x_2} + 2}}\) thì \({x_1} + {x_2} + 2 \ne 0 \Rightarrow 4m + 2 \ne 0 \Rightarrow m \ne - \frac{1}{2}.\)

\(P = \frac{{4{x_1}{x_2} - 2m}}{{{x_1} + {x_2} + 2}} = \frac{{4\left( {3{m^2} + 2m - 3} \right) - 2m}}{{4m + 2}}\)\( = \frac{{6{m^2} + 3m - 6}}{{2m + 1}} = 3m - \frac{6}{{2m + 1}}.\)

Với \(m \in \mathbb{Z},\) để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(2m + 1\) là ước của \(6.\)

Mà \(U\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 3;\, \pm 6} \right\}\)

Lại có: \(2m + 1\) là số lẻ \( \Rightarrow 2m + 1 \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 1 = - 3\\2m + 1 = - 1\\2m + 1 = 1\\2m + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2; - 1;\,\,0;\,\,1} \right\}\) thỏa mãn bài toán.

Từ đó ta tìm được \(m \in \left\{ {1;0; - 1; - 2} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link