Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\left( {AB < AC} \right),\) điểm \(M\) là

Câu hỏi số 397606:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\left( {AB < AC} \right),\) điểm \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Đường phân giác trong của \(\angle BAC\) cắt BC tại D và cắt đường tròn\(\left( O \right)\) tại điểm \(P\,\,\,\left( {P \ne A} \right).\) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(M.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) cắt đường thẳng \(AO\) tại \(H.\) Qua \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) cắt đường thẳng \(AD\) tại \(F.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(PE\) và \(DH.\)

1) Chứng minh tứ giác \(DEFK\) là hình chữ nhật.

2) Chứng minh \(DB.DC = DA.DP = DH.DK,\) từ đó suy ra tứ giác \(BHCK\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\).

3) Gọi \(T\) là giao điểm của \(AD\) và \(\left( I \right)\,\,\,\left( {T \ne F} \right).\) Chứng minh đường thẳng \(HT\) vuông góc với đường thẳng \(AD.\)

4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MTP\) cắt đường thẳng \(TH\) tại điểm \(Q\,\,\left( {Q \ne T} \right).\) Chứng minh đường thẳng \(QA\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:397606

Phương pháp giải

1. Chứng minh \(DEFK\) là hình bình hành sau đó suy ra \(DEFK\) là hình chữ nhật.

2. Sử dụng các tam giác đồng dạng chứng minh tỉ số.

3. Chứng minh \(F\) cũng thuộc đường tròn \(\left( I \right).\)

4. Chứng minh \(Q,B,M,C\) thẳng hàng, sau đó chứng minh tam giác \(AHQ\) vuông.

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(DEFK\) là hình chữ nhật.

Ta có: \(OP \bot BC = \left\{ P \right\},\,\,P\) là điểm chính giữa cung

\( \Rightarrow A,\,\,D,\,\,P\) thẳng hàng.

Ta có\(PD = PE\) (\(PM\) là đường trung trực của \(DE\))

Tam giác \(EDK\) vuông tại \(D,\) có \(PD = PE\) nên \(PD = PE = PK.\)

Tam giác \(DEF\) vuông tại \(E,\) có \(PD = PE\) nên \(PD = PE = PF.\)

Suy ra \(PD = PE = PK = PF \Rightarrow DEFK\) là hình bình hành.

Lại có \(\angle EDK = {90^0}\) nên \(DEFK\) là hình chữ nhật. (đpcm).

2. Chứng minh \(DB.DC = DA.DP = DH.DK,\) từ đó suy ra tứ giác \(BHCK\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\).

Tứ giác \(ABPC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên ta chứng minh được: \(\Delta ABD \sim \Delta CPD\,\,\,\left( {g - c} \right)\)

\( \Rightarrow DB.DC = DA.DP.\)

Ta có: \(\angle HDA = \angle OPA\) (đồng vị do \(HD\,{\rm{//}}\,OP\))

Mà \(\angle OPA = \angle OAP \Rightarrow \angle OAP = \angle \angle HDA\) \( \Rightarrow \Delta HAD\) cân tại \(H.\)

Ta có tam giác \(PDK\) cân tại \(P.\)

Lại có: \(\angle HDA = \angle PDK\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta HDA \sim \Delta PDK \Rightarrow DH.DK = DA.DP.\)

Vậy \(DB.DC = DA.DP = DH.DK\)

Từ \(DB.DC = DH.DK \Rightarrow \frac{{DB}}{{DH}} = \frac{{DK}}{{DC}},\)

\( \Rightarrow \Delta DHB \sim \Delta DCK\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \angle DHB = \angle DCK\)

\( \Rightarrow BHCK\) là tứ giác nội tiếp. (hai đỉnh cùng kề 1 cạnh nhìn cạnh đối diện dưới hai góc bằng nhau).

3. Gọi \(T\) là giao điểm của \(AD\) và \(\left( I \right)\,\,\,\left( {T \ne F} \right).\) Chứng minh đường thẳng \(HT\) vuông góc với đường thẳng \(AD.\)

Vì \(MB = MC,MD = ME \Rightarrow DB = EC.\)

Ta có \(\Delta KDB = \Delta FEC \Rightarrow \angle KBD = \angle FCE \Rightarrow BCFK\) là hình thang cân

\( \Rightarrow BCFK\) là tứ giác nội tiếp nên \(F\) thuộc đường tròn \(\left( I \right).\)

Vì \(\angle HKF = {90^0} \Rightarrow HF\) là đường kính đường tròn \(\left( I \right) \Rightarrow \angle HTF = {90^0} \Rightarrow HT \bot AD.\)

4. Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MTP\) cắt đường thẳng \(TH\) tại điểm \(Q\,\,\left( {Q \ne T} \right).\) Chứng minh đường thẳng \(QA\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right).\)

Tứ giác \(QTMP\) nội tiếp nên \(\angle QMP = \angle QTP = {90^0}\)

Mà \(\angle BMP = {90^0} \Rightarrow Q,B,M,C\) thẳng hàng.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(QDH\) vuông tại \(D\) ta có: \(H{D^2} = HT.HQ.\)

Mà \(HD = HA \Rightarrow H{A^2} = HT.HQ \Rightarrow \frac{{HA}}{{HT}} = \frac{{HQ}}{{HA}}.\)

Từ đây dễ dàng chứng minh \(\Delta HAQ \sim \Delta HTA \Rightarrow \Delta HAQ\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow QA \bot HA \Rightarrow \)\(QA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link