Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH\,\,\,\,\left( {H \in BC} \right).\) a) Chứng minh tam

Câu hỏi số 398708:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH\,\,\,\,\left( {H \in BC} \right).\)

a) Chứng minh tam giác \(HBA\) đồng dạng với tam giác \(ABC.\)

b) Chứng minh \(A{H^2} = HB.HC.\)

c) Tia phân giác của \(\angle AHC\) cắt \(AC\) tại \(D.\) Chứng minh \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398708

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) qua trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Chứng minh \(\Delta HBA \sim \Delta HAC\)qua trường hợp đồng dạng góc – góc để có tỷ lệ.

c) Sử dụng tính chất: \(HD\) là tia phân giác \(\angle HAC\) nên có tỉ lệ \(\frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}} = \frac{{HB.HC}}{{H{C^2}}} = \frac{{HB}}{{HC}}.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh tam giác \(HBA\) đồng dạng với tam giác \(ABC.\)

Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AHB = \angle CAB\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle B\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \,\,\Delta HBA \sim \Delta ABC\,\,\,\left( {g - g} \right).\)

b) Chứng minh \(A{H^2} = HB.HC.\)

Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta HAC\) ta có:

\(\angle AHB = \angle CHA\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\angle BAH = \angle ACH\)(cùng phụ \(\angle HAC\))

\( \Rightarrow \Delta HBA\, \sim \Delta HAC\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{HA}}{{HC}} \Rightarrow H{A^2} = HB.HC\)(đpcm).

c) Tia phân giác của \(\angle AHC\) cắt \(AC\) tại \(D.\) Chứng minh \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}.\)

Vì \(HD\) là tia phân giác của \(\angle AHC\) nên \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{DC}}{{HC}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AH}}{{HC}} \Rightarrow \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}\)

mà \(H{A^2} = HB.HC\)(câu b) \( \Rightarrow \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}} = \frac{{HB.HC}}{{H{C^2}}} = \frac{{HB}}{{HC}}\)(đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link