Từ điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với

Câu hỏi số 398867:

Vận dụng

Từ điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn (\(M,N\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(B,C\,\,\,(O\) không thuộc \(\left( d \right),\,\,B\) nằm giữa \(A\) và \(C).\)

a) Chứng minh tứ giác \(AMON\) nội tiếp và \(A{M^2} = AB.AC\)

b) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(HA\) là tia phân giác của \(\angle MHN.\)

c) Kẻ \(BE\) song song với \(AM\,\,\,(E\) thuộc \(MN).\) Chứng minh rằng \(HE//CM.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398867

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(AMON\) là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}.\)

Chứng minh hai tam giác chứa các cạnh trong hệ thức đồng dạng từ đó suy ra đpcm.

b) Chứng minh hai góc \(\angle AHM\) và \(\angle AHN\) bằng nhau bằng tính chất của góc nội tiếp đường tròn.

c) Chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AMON\) nội tiếp và \(A{M^2} = AB.AC\)

*) Chứng minh tứ giác \(AMON\) nội tiếp:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\angle AMO = \angle ANO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AMON\) có \(\angle AMO + \angle ANO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \) tứ giác \(AMON\) nội tiếp trong một đường tròn.

*) Chứng minh \(A{M^2} = AB.AC\):

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta AMC\) có:

\(\angle BAM\) chung

\(\angle AMB = \angle ACM\,\) (gọc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung \(BM\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta AMC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AC}}\,\, \Rightarrow A{M^2} = AB.AC\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(HA\) là tia phân giác của \(\angle MHN.\)

Do \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có: \(\angle AHO = {90^0}\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Ta có: \(\angle AMO = \angle ANO = {90^0}\,\, \Rightarrow \angle AMO = \angle ANO = \angle AHO = {90^0}\)

Mà các góc này cùng nhìn đoạn \(AO\)

\( \Rightarrow \) các điểm \(A,M,H,N,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\)

\( \Rightarrow \angle AHM = \angle AHN\) (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau là cung \(AM\) và cung \(AN\))

\( \Rightarrow HA\) là tia phân giác của \(\angle MHN\) (đpcm).

c) Kẻ \(BE\) song song với \(AM\,\,\,(E\) thuộc \(MN).\) Chứng minh rằng \(HE//CM.\)

Theo giả thiết \(AM//BE\) nên \(\angle MAC = \angle EBH\) (hai góc đồng vị) \(\left( 1 \right)\)

Do 5 điểm \(A,M,H,N,O\) cùng thuộc một đường tròn nên: \(\angle MAH = \angle MNH\) (góc nội tiếp cùng chắn cùng \(MH\)) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\angle ENH = \angle EBH\)

Mà \(N,B\) là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn \(EH\)

Suy ra tứ giác \(EBNH\) nội tiếp

Suy ra \(\angle EHB = \angle ENB\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(EB\))

Mà trong đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle ENB = \angle MCB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MB\))

Suy ra: \(\angle EHB = \angle MCB\) mà hai góc ở vị trí đồng vị

Suy ra \(EH//MC\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link