Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) với \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\) có \(AB = a\) , mặt bên

Câu hỏi số 398871:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) với \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\) có \(AB = a\) , mặt bên \(ABB'A'\) là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và vuông góc với \(AB'\) chi khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần?

A. \({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},\,\,\,{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{24}}\)

B. \({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},\,\,\,{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)

C. \({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},\,\,\,{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)

D. \({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},\,\,\,{V_2} = \dfrac{{5{a^3}}}{{24}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398871

Phương pháp giải

- Dựng mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(AB'\) (là mặt phẳng \(\left( {DIC} \right)\) với \(D\) là trung điểm của \(AA'\).

- Tính diện tích tam giác \(ABC\), từ đó suy ra diện tích tam giác \(AIC\).

- Tính độ dài đường cao \(A'A\) của lăng trụ và độ dài đường cao \(DA\) của hình chóp \(D.AIC\).

- Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và khối chóp \(D.AIC\), từ đó tính được thể tích phần còn lại của khối lăng trụ được chia bởi mặt phẳng \(\left( {DIC} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(D\) là trung điểm của \(AA'\) ta có \(ID\) là đường trung bình của tam giác \(AA'B\)\( \Rightarrow ID\parallel A'B\).

Mà \(A'B \bot AB'\) (do \(ABB'A'\) là hình vuông) \( \Rightarrow ID \bot AB'\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) nên \(IC \bot AB\). Mà \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot IC\)

\( \Rightarrow IC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow IC \bot AB'\)

\( \Rightarrow AB' \bot \left( {ICD} \right)\)

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng qua \(I\) và vuông góc với \(AB'\) là \(\left( {ICD} \right).\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) nên \(AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\).

Vì \(ABB'A'\) là hình vuông \( \Rightarrow AA' = AB = a.\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{4} = V\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{D.ACI}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{ACI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = {V_1}\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{4} - \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.