Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1; - 2;3)\) và đường thẳng \(d\) có

Câu hỏi số 398872:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1; - 2;3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Tính đường kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\).

A. \(5\sqrt 2 \)

B. \(10\sqrt 2 \)

C. \(2\sqrt 5 \)

D. \(4\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398872

Phương pháp giải

\(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(d\) khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của \(\left( S \right)\) và \(d\) có nghiệm kép.

Giải chi tiết

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + (z - 3){}^2 = {R^2}.\)

Phương trình tham số của \(d\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của \(\left( S \right)\) và \(d\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\\x = - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\) (*)

\(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(d\) khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép.

\( \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\) có nghiệm kép.

\( \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - {R^2} = 0\) có nghiệm kép.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.\left( {56 - R{}^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 .\end{array}\)

Vậy đường kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(10\sqrt 2 \).

Chú ý khi giải

- Có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính bán kính mặt cầu: \(R = d\left( {A,d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\).

- Từ đó suy ra đường kính \(D = 2R\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.