Cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 10x = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} +

Câu hỏi số 399035:

Vận dụng

Cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 10x = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0.\) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right).\)

A. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x - 7y + 25\sqrt 2 - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2 - 5 = 0\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2 - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x - 7y - 25\sqrt 2 - 5 = 0\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2 - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2 - 5 = 0\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x - 7y + 25\sqrt 2 - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x - 7y - 25\sqrt 2 - 5 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399035

Phương pháp giải

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {5;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 5.\)

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 2;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{2^2} + 1 + 20} = 5.\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 5} \right)}^2} + 1} = 5\sqrt 2 < {R_1} + {R_2} = 10\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho cắt nhau \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {5;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 5.\)

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 2;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{2^2} + 1 + 20} = 5.\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 5} \right)}^2} + 1} = 5\sqrt 2 < {R_1} + {R_2} = 10\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho cắt nhau \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\\\frac{{\left| { - 2a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = \left| { - 2a + b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + c = - 2a + b + c\\5a + c = 2a - b - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7a\\3a + b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7a\\b = - 3a - 2c\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b = 7a \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {{a^2} + 49{a^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 25\sqrt 2 \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + c = 25\sqrt 2 a\\5a + c = - 25\sqrt 2 a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \left( {25\sqrt 2 - 5} \right)a\\c = - \left( {25\sqrt 2 + 5} \right)a\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2 - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2 - 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b = - 3a - 2c \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {{a^2} + {{\left( {3a + 2c} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {10{a^2} + 12ac + 4{c^2}} \\ \Leftrightarrow 25{a^2} + 10ac + {c^2} = 25\left( {10{a^2} + 12ac + 4{c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 225{a^2} + 290ac + 99c = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2 - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2 - 5 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.