Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} -

Câu hỏi số 399164:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:

A. \(\left( Q \right):\,\,x + 2y - 2z - 35 = 0\)

\(\left( Q \right):\,\,x + 2y - 2z - 17 = 0\)

C. \(\left( Q \right):\,\,x + 2y - 2z + 1 = 0\)

\(\left( Q \right):\,\,2x + 2y - z + 19 = 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399164

Phương pháp giải

- Tìm tâm \(I\), bán kính \(R\) của khối cầu đã cho. Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

- Mặt phẳng \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) thì phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(x + 2y - 2z + d = 0\,\,\left( {d \ne 1} \right)\).

- Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) khi \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R\).

- Khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,\,ax + by + cz + d = 0\) là: \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.\)

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( {2;1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 0} = 3\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + 2y - 2z + 1 = 0\) nên \(mp\left( Q \right)\) có phương trình dạng: \(x + 2y - 2z + d = 0\,\,\,\left( {d \ne 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên ta có :

\(\begin{array}{l}d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1.2 + 2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {8 + d} \right| = 9\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8 + d = 9\\8 + d = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\d = - 17\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d = - 17.\end{array}\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x + 2y - 2z - 17 = 0.\)

Chú ý khi giải

Chú ý điều kiện của hằng số \(d\), không kết luận cả phương trình \(\left( Q \right)\) khi trùng với \(\left( P \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.