Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx} \) và \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \). Chọn khẳng

Câu hỏi số 400193:

Vận dụng

Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx} \) và \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {tdt} \)

B. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt} \)

C. \(I = \left. {\left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)} \right|_1^2\)

D. \(I = \frac{{14}}{9}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:400193

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x.\)

\( \Rightarrow 2tdt = \frac{{3dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{3}tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right..\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx} = \int\limits_1^e {\sqrt {1 + 3\ln x} .\frac{{dx}}{x}} \\I = \int\limits_1^2 {t.\frac{2}{3}tdt} = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt} = \left. {\frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \left. {\frac{2}{9}{t^3}} \right|_1^2\\\,\,\,\, = \frac{2}{9}\left( {8 - 1} \right) = \frac{{14}}{9}.\end{array}\)

Do đó các đáp án B, D đúng.

Lại có \(\left. {\left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)} \right|_1^2 = \left( {\frac{2}{9}.8 + 2} \right) - \left( {\frac{2}{9}.1 + 2} \right) = \frac{{14}}{9} = I\) nên đáp án C đúng.

Vậy A sai.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.