Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5

Câu hỏi số 400783:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\) và \(A\left( {0;\, - 1} \right) \in \left( C \right)\). Tọa độ điểm \(B\) và \(C\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) để \(\Delta ABC\) đều là

A. \(\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

B. \(\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

C. \(\left( {\frac{{7 + 3\sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

D. \(\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 - \sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400783

Phương pháp giải

+) Viết phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua hai điểm \(B\) và \(C\).

+) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\)với \(\left( C \right)\).

Giải chi tiết

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2} \right)\\R = \sqrt {10} \end{array} \right.\)

Để \(\Delta ABC\) đều thì \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

\(A\left( {0;\,\, - 1} \right),\,\,I\left( {1;\,\,2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( {1;\,\,3} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra, \(\overrightarrow {AI} = 2\,.\,\overrightarrow {IH} \Rightarrow H\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{7}{2}} \right)\).

Ta có:

\(\left( {BC} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,H\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \overrightarrow {AI} = \left( {1;\,\,3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,1\,\,.\,\,\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 3\,\,.\,\,\left( {y - \frac{7}{2}} \right) = 0\)\( \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,x + 3y - 12 = 0\)

Vì \(B,\,\,C \in \left( C \right)\) nên tọa độ của \(B\) và \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\\x + 3y - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\\x = 12 - 3y\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {12 - 3y} \right)^2} + {y^2} - 2\left( {12 - 3y} \right) - 4y - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 144 - 72y + 9{y^2} + {y^2} - 24 + 6y - 4y - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 10{y^2} - 70y + 115 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 + \sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(B\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,C\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\,\) hoặc \(B\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,C\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\,\).

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.