Cho hình thang \(ABCD\) có đáy lớn \(CD\). Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(DC\)

Câu hỏi số 400911:

Vận dụng

Cho hình thang \(ABCD\) có đáy lớn \(CD\). Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(DC\) tại \(K.\) Qua \(B\) vẽ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(DC\) tại \(I.\) \(BI\) cắt \(AC\) tại \(F,\) \(AK\) cắt \(BD\) tại \(E.\) Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác \(AFB\) và \(CFI\) đồng dạng.

b) \(AE.KD = AB.EK\)

c) \(A{B^2} = CD.EF.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400911

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta AFB \sim \Delta CFI\) theo trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Chứng minh \(\Delta AEB \sim \Delta KED \Rightarrow AE.KD = AB.KE\)

c) Sử dụng định lý Ta-let cho \(AB//CI,\,\,AB//KD\) suy ra tỷ lệ \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AK}}\)

\( \Rightarrow EF//AB//CD \Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{AB}}.\)

Giải chi tiết

a) Hai tam giác \(AFB\) và \(CFI\) đồng dạng.

Xét \(\Delta AFB\) và \(\Delta CFI\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ABF = \angle CIF\left( {slt} \right)\\\angle BAF = \angle ICF\left( {slt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AFB \sim \Delta CFI\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) \(AE.KD = AB.EK\)

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta KED\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ABE = \angle KDE\,\,\,\,\left( {slt} \right)\\\angle BAE = \angle DKE\,\,\,\,\left( {slt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AEB \sim \Delta KED\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{KE}}{{KD}} \Rightarrow AE.KD = AB.KE\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

c) \(A{B^2} = CD.EF.\)

Xét tứ giác \(ABCK\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CK\,\,\,\left( {gt} \right)\\AK//BC\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ABCK\) là hình bình hành (dhnb).

\( \Rightarrow KC = AB\) (tính chất hình bình hành).

\( \Rightarrow KC = DI\,\,\left( { = AB} \right)\)

Xét tứ giác \(ABID\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//DI\,\,\left( {gt} \right)\\AD//BI\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ABID\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow AB = DI\) (tính chất hình bình hành).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}DK = DI + IK\\CI = KC + IK\end{array} \right. \Rightarrow DK = CI\,\,\)

Vì \(AB//CI \Rightarrow \frac{{AB}}{{IC}} = \frac{{AF}}{{FC}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{IC}}{{FC}} = \frac{{DC}}{{AC}}\left( {do\,\,FI//AD} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(AB//DK \Rightarrow \frac{{AB}}{{DK}} = \frac{{AE}}{{EK}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{DK}}{{EK}} = \frac{{AB + DK}}{{AE + EK}} = \frac{{DC}}{{AK}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AK}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AK}} \Rightarrow EF//CK \Rightarrow EF//AB//CD\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{KC}} = \frac{{EF}}{{AB}}\left( {do\,\,AB = KC} \right)\)

Nên \(A{B^2} = CD.EF.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link