Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(xy + 2\left( {yz + zx} \right) = 5.\) Tìm giá

Câu hỏi số 400912:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(xy + 2\left( {yz + zx} \right) = 5.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 4{z^2}.\)

A. \(5\)

B. \(8\)

C. \(9\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400912

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\\2{\left( {y - z} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 2{y^2} + 2{z^2} \ge 4yz\\2{\left( {z - x} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 2{z^2} + 2{x^2} \ge 4zx\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta được: \(3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 4{z^2} \ge 2.\left[ {xy + 2\left( {yz + zx} \right)} \right] = 2.5 = 10\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\xy + 2\left( {yz + zx} \right) = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\{x^2} + 4{x^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\5{x^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = z = 1\\x = y = z = - 1\end{array} \right..\)

Vậy \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(10\) khi \(\left[ \begin{array}{l}x = y = z = 1\\x = y = z = - 1\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link