Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với mặt
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Sin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng định lí Pytago và định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông tính độ dài các cạnh.
- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác tính góc. Xác định chính xác góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn.
- Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\forall \alpha \) để tính sin của góc giữa hai mặt phẳng.
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) \( \Rightarrow SO = \left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right).\)
Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E = MN \cap SO\).
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) nên \(MN\parallel BD\).
Ta có: \(\dfrac{{ME}}{{OB}} = \dfrac{{SE}}{{SO}} = \dfrac{{EN}}{{OD}}\) (Định lí Ta-lét), mà \(OB = OD\) nên \(ME = EN\) hay \(E\) là trung điểm của \(MN\).
Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAD\) có:
\(\angle SAB = \angle SAD = {90^0}\),
\(SA\) chung;
\(AB = AD\,\,\,\left( {gt} \right)\).
\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAD\) (hai cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow AM = AN\) (2 trung tuyến tương ứng) và \(SB = SD\) (hai cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow AE \bot MN\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).
Lại có \(\Delta SBD\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SO \bot MN\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = MN\\\left( {AMN} \right) \supset AE \bot MN\\\left( {SBD} \right) \supset SO \bot MN\end{array} \right.\)\(MN//BD\, \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AMN} \right);\left( {SBD} \right)} \right) = \angle \left( {AE;SO} \right)\)
Ta có: \(\dfrac{{SE}}{{SO}} = \dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow E\) là trung điểm của \(SO\).
Xét tam giác \(SAO\), \(E\) là trung điểm của \(SO\) có:
\(\begin{array}{l}SA = a,\,AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\\ \Rightarrow AE = EO = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\end{array}\)
Tam giác \(AEO\) có: \({\rm{cos}}\angle AEO = \dfrac{{A{E^2} + E{O^2} - A{O^2}}}{{2.AE.EO}} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{8} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{8}}} = \dfrac{1}{3} > 0.\)
\( \Rightarrow \angle AEO\) là góc nhọn \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AMN} \right);\left( {SBD} \right)} \right) = \angle AEO\).
Ta có: \(\sin \angle AEO = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\angle AEO} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Vậy \(\sin \angle \left( {\left( {AMN} \right);\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Số đo góc giữa hai mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng \({90^0}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
