Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \(\left( { - 10 < m < 10} \right)\) để phương trình \(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)\) có đúng 1 nghiệm?

Câu 400964: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \(\left( { - 10 < m < 10} \right)\) để phương trình \(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)\) có đúng 1 nghiệm?

A. \(2\).

B. \(1\).

C. \(10\).

D. \(9\).

Câu hỏi : 400964

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Đáp án : C
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\mx > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\mx > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \log \left( {mx} \right) = \log {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array}\)

Do \({\left( {x + 1} \right)^2} > 0\) nên \(x \ne 0\), khi đó ta có \(mx = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow m = x + 2 + \dfrac{1}{x}\) (\(x > - 1,\,\,x \ne 0\)).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x} + 2\) trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\), có: \(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}},\)\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)

Ta có BBT sau:

Số nghiệm của phương trình \(m = x + 2 + \dfrac{1}{x}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Như vậy, để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m = 4\end{array} \right..\)

Với \(m < 0\) , phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 1 nghiệm \(x \in \left( { - 1;0} \right)\), nghiệm này là nghiệm âm, do đó thỏa mãn điều kiện \(mx > 0\).

Với \(m = 4 > 0\) , phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 1 nghiệm \(x = 1\), nghiệm này là nghiệm dương, do đó thỏa mãn điều kiện \(mx > 0\).

Mà \(m\) là số nguyên và \( - 10 < m < 10\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 1;\,4} \right\}\).

Vậy có 10 giá trị của .. thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Chú ý:
Cần chú ý điều kiện xác định của phương trình logarit.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.