Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}dx} = a + be + c{e^2}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng

Câu 400965: Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}dx} = a + be + c{e^2}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng

A. \(\dfrac{5}{2}\).

B. \(\dfrac{3}{2}\).

C. \( - \dfrac{3}{2}\).

D. \(\dfrac{1}{2}\).

Câu hỏi : 400965

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = u\left. v \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Ưu tiên đặt \(v = {e^{2x}}\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\), từ đó tính tổng \(a + b + c\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + {e^{ - x}}\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 - {e^{ - x}}} \right)dx\\v = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}dx} \\ = \left. {\dfrac{1}{2}\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}} \right|_0^1 + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}\left( {1 - {e^{ - x}}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \dfrac{1}{e}} \right).{e^2} - \dfrac{1}{2}.\left( {0 + 1} \right).1 + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} - {e^x}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {{e^2} + e - 1} \right) + \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x}} \right)} \right|_0^1\\ = \dfrac{1}{2}\left( {{e^2} + e - 1} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}{e^2} - e - \left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{2}{e^2} + \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}{e^2} - \dfrac{1}{2}e + \dfrac{1}{4}\\ = \dfrac{3}{4}{e^2} - \dfrac{1}{4} = a + be + c{e^2}\\ \Rightarrow a = - \dfrac{1}{4},\,\,b = 0,\,\,c = \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow a + b + c = - \dfrac{1}{4} + 0 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.