Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}dx} = a + be + c{e^2}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in

Câu hỏi số 400965:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}dx} = a + be + c{e^2}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng

A. \(\dfrac{5}{2}\).

B. \(\dfrac{3}{2}\).

C. \( - \dfrac{3}{2}\).

D. \(\dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400965

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = u\left. v \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Ưu tiên đặt \(v = {e^{2x}}\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\), từ đó tính tổng \(a + b + c\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + {e^{ - x}}\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 - {e^{ - x}}} \right)dx\\v = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}dx} \\ = \left. {\dfrac{1}{2}\left( {x + {e^{ - x}}} \right){e^{2x}}} \right|_0^1 + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}\left( {1 - {e^{ - x}}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \dfrac{1}{e}} \right).{e^2} - \dfrac{1}{2}.\left( {0 + 1} \right).1 + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} - {e^x}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {{e^2} + e - 1} \right) + \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x}} \right)} \right|_0^1\\ = \dfrac{1}{2}\left( {{e^2} + e - 1} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}{e^2} - e - \left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{2}{e^2} + \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}{e^2} - \dfrac{1}{2}e + \dfrac{1}{4}\\ = \dfrac{3}{4}{e^2} - \dfrac{1}{4} = a + be + c{e^2}\\ \Rightarrow a = - \dfrac{1}{4},\,\,b = 0,\,\,c = \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow a + b + c = - \dfrac{1}{4} + 0 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.