Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại C, \(AB = 2a\) và góc
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại C, \(AB = 2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'C',\,\,BC\). Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ hơn bằng :
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\).
- Công thức thể tích khối chóp cụt: \(V = \dfrac{1}{3}\left( {B + B' + \sqrt {BB'} } \right)h\) trong đó \(B,\,\,B'\) lần lượt là diện tích hai đáy, \(h\) là chiều cao của khối chóp cụt.
Gọi \(ME = \left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right)\) , ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\\\left( {ANM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AN\\\left( {ANM} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = ME\end{array} \right.\,\, \Rightarrow AN\parallel ME.\) Khi đó thiết diện của lăng trụ cắt bởi \(\left( {AMN} \right)\) là tứ giác \(AMEN\).
Đặt \({V_1} = {V_{ANC.MEC'}},\,\,{V_2} = {V_{ABN.A'B'EM}}\) với \(ANC.MEC'\) là hình chóp cụt.
Gọi \(F\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow CF \bot AB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).
Mà \(CC' \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {CFC'} \right) \Rightarrow AB \bot C'F.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {ABC'} \right) \supset C'F \bot AB\\\left( {ABC} \right) \supset CF \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABC'} \right)} \right) = \angle CFC' = {60^0}\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) có \(AB = 2a \Rightarrow CF = \dfrac{1}{2}AB = a\).
Xét \(\Delta CC'F\) có: \(CC' = CF.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)
Xét \(\Delta ANC\) và \(\Delta MEC'\) có \(\angle C = \angle C' = {90^0}\), \(AC\parallel A'C',\,\,AN\parallel ME\) \( \Rightarrow \angle CAN = \angle C'ME\).
\( \Rightarrow \Delta ANC \sim \Delta MEC'\,\,\left( {g.g} \right)\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{AC}}{{MC'}} = 2\).
\( \Rightarrow {S_{ANC}} = {k^2}{S_{MEC'}} = 4{S_{MEC'}}\).
Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.FC = \dfrac{1}{4}A{B^2} = \dfrac{1}{4}{\left( {2a} \right)^2} = {a^2}\).
\( \Rightarrow S = {S_{ANC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\) và \(S' = {S_{MEC'}} = \dfrac{1}{4}.{S_{ANC}} = \dfrac{1}{8}{a^2}\)
Thể tích khối chóp cụt \(ANC.MEC'\) là: \({V_1} = \dfrac{h}{3}\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)\)\( = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\left( {\dfrac{1}{2}{a^2} + \dfrac{1}{8}{a^2} + \sqrt {\dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{1}{8}{a^2}} } \right)\)\( = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}.\)
Thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2} = {a^3}\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {V_2} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_1} = \dfrac{{17\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\).
Vậy thể tích của phần nhỏ hơn bằng \(\dfrac{{7\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}.\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
