Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)và thoả mãn \({f^3}\left( x \right) + 2f\left(

Câu hỏi số 400977:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)và thoả mãn \({f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 1 - x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,dx\) bằng:

A. \( - \dfrac{7}{4}\).

B. \( - \dfrac{{17}}{4}\).

C. \(\dfrac{{17}}{4}\).

D. \(\dfrac{7}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400977

Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế và sử dụng công thức từng phần.

Giải chi tiết

Với \(x = - 2\), có: \({f^3}\left( { - 2} \right) + 2f\left( { - 2} \right) = 3 \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) = 1\)

Với \(x = 1\), có: \({f^3}\left( 1 \right) + 2f\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 0\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)và thoả mãn \({f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 1 - x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right)} \right]} \,d\left( {f\left( x \right)} \right) = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - x} \right)} \,d\left( {f\left( x \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left. {\left[ {\dfrac{1}{4}{f^4}\left( x \right) + {f^2}\left( x \right)} \right]} \right|_{ - 2}^1 = \left. {\left( {1 - x} \right)f\left( x \right)} \right|_{ - 2}^1 - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,d\left( {1 - x} \right)\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{1}{4}{f^4}\left( 1 \right) + {f^2}\left( 1 \right)} \right] - \left[ {\dfrac{1}{4}{f^4}\left( { - 2} \right) + {f^2}\left( { - 2} \right)} \right] = \left( {1 - 1} \right)f\left( 1 \right) - \left( {1 + 2} \right)f\left( { - 2} \right) + \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 0 - \left( {\dfrac{1}{4}{{.1}^4} + {1^2}} \right) = 0 - 3.1 + \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{7}{4}.\end{array}\) .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.