Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) và

Câu hỏi số 400976:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\). Lấy điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) với \(a < 0\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến \(MA,MB,MC\) đến \(\left( S \right)\) (\(A,B,C\) là các tiếp điểm) thoả mãn \(\angle AMB = {60^0},\) \(\angle BMC = {90^0},\) \(\angle AMC = {120^0}\). Tổng \(a + b + c\) bằng

A. \(2\).

B. \(- 2\).

C. \(1\)

D. \(\dfrac{{10}}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400976

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) có tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 + 13} = \sqrt {27} .\)

Ta có: Đường thẳng \(d\) đi qua \(S\left( { - 1; - 2;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1;1} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IS} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 8;6;2} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {1;1;1} \right)} \right|}} = \dfrac{{2\sqrt {78} }}{3} > R\).

Do đó đường thẳng \(d\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right)\). Mà \(M \in d\) nên \(M\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

* Xét khối chóp \(M.ABC\):

Đặt \(MA = MB = MC = m\) (Tính chất các tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có :

+ \(\Delta MAB\) đều nên \(AB = MA = MB = m\).

+ \(\Delta MBC\) vuông tại \(M\) nên \(BC = m\sqrt 2 \).

+ \(\Delta MAC\) có \(\angle AMC = {120^0}\) nên áp dụng định lí Cosin ta tính được \(AC = \sqrt {A{M^2} + C{M^2} - 2.AM.CM.{\rm{cos12}}{{\rm{0}}^0}} = m\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\,\,\left( { = 3{m^2}} \right)\) \( \Rightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (Định lsi Pytago đảo).

\( \Rightarrow \) Tâm \(H\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm của \(AC\).

Mà khối chóp \(M.ABC\)có các cạnh bên bằng nhau nên \(MH \bot \left( {ABC} \right)\).

Mà khối chóp \(I.ABC\) cũng có các cạnh bên bằng nhau \(\left( {IA = IB = IC = R} \right)\) nên \(IH \bot \left( {ABC} \right)\).

Do đó \(M,\,\,I,\,\,H\) thẳng hàng (như hình vẽ)

\( \Rightarrow A,M,C,I,H\) đồng phẳng \( \Rightarrow \)\(\Delta AMI\) vuông tại \(A\), có \(\angle AMI = \dfrac{1}{2}\angle AMC = {60^0}\)\( \Rightarrow IM = \dfrac{{AI}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{\sqrt {27} }}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 6.\)

Vì \(M \in d \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( {t - 1;t - 2;t + 1} \right)\,\,\,\left( {a < 0 \Rightarrow t < 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I{M^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36\\ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 4 + {t^2} - 8t + 16 + {t^2} + 8t + 16 = 36\\ \Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \dfrac{4}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 0 \Rightarrow \)\(M\left( { - 1; - 2;1} \right) \Rightarrow a = - 1,\,\,b = - 2,\,\,c = 1\).

Vậy \(a + b + c = - 1 - 2 + 1 = - 2.\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.