Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) và
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\). Lấy điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) với \(a < 0\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến \(MA,MB,MC\) đến \(\left( S \right)\) (\(A,B,C\) là các tiếp điểm) thoả mãn \(\angle AMB = {60^0},\) \(\angle BMC = {90^0},\) \(\angle AMC = {120^0}\). Tổng \(a + b + c\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) có tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 + 13} = \sqrt {27} .\)
Ta có: Đường thẳng \(d\) đi qua \(S\left( { - 1; - 2;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1;1} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IS} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 8;6;2} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {1;1;1} \right)} \right|}} = \dfrac{{2\sqrt {78} }}{3} > R\).
Do đó đường thẳng \(d\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right)\). Mà \(M \in d\) nên \(M\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
* Xét khối chóp \(M.ABC\):
Đặt \(MA = MB = MC = m\) (Tính chất các tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có :
+ \(\Delta MAB\) đều nên \(AB = MA = MB = m\).
+ \(\Delta MBC\) vuông tại \(M\) nên \(BC = m\sqrt 2 \).
+ \(\Delta MAC\) có \(\angle AMC = {120^0}\) nên áp dụng định lí Cosin ta tính được \(AC = \sqrt {A{M^2} + C{M^2} - 2.AM.CM.{\rm{cos12}}{{\rm{0}}^0}} = m\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\,\,\left( { = 3{m^2}} \right)\) \( \Rightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (Định lsi Pytago đảo).
\( \Rightarrow \) Tâm \(H\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm của \(AC\).
Mà khối chóp \(M.ABC\)có các cạnh bên bằng nhau nên \(MH \bot \left( {ABC} \right)\).
Mà khối chóp \(I.ABC\) cũng có các cạnh bên bằng nhau \(\left( {IA = IB = IC = R} \right)\) nên \(IH \bot \left( {ABC} \right)\).
Do đó \(M,\,\,I,\,\,H\) thẳng hàng (như hình vẽ)
\( \Rightarrow A,M,C,I,H\) đồng phẳng \( \Rightarrow \)\(\Delta AMI\) vuông tại \(A\), có \(\angle AMI = \dfrac{1}{2}\angle AMC = {60^0}\)\( \Rightarrow IM = \dfrac{{AI}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{\sqrt {27} }}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 6.\)
Vì \(M \in d \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( {t - 1;t - 2;t + 1} \right)\,\,\,\left( {a < 0 \Rightarrow t < 1} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I{M^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36\\ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 4 + {t^2} - 8t + 16 + {t^2} + 8t + 16 = 36\\ \Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \dfrac{4}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 0 \Rightarrow \)\(M\left( { - 1; - 2;1} \right) \Rightarrow a = - 1,\,\,b = - 2,\,\,c = 1\).
Vậy \(a + b + c = - 1 - 2 + 1 = - 2.\)
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
