Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 4;2; - 1} \right)\) và đường thẳng

Câu hỏi số 401197:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 4;2; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 - t\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(A'\left( {a;b;c} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d\). Tính \(P = a + b + c.\)

A. \(P = 1.\)

B. \(P = 5.\)

C. \(P = - 2.\)

D. \(P = - 1.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401197

Phương pháp giải

- Xác định tọa độ điểm \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\).

- Vì \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AA'\).

- Tìm tọa độ điểm \(A'\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\).

Vì \(I \in d \Rightarrow I\left( { - 1 + t;3 - t;t} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {3 + t;1 - t;t + 1} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\).

Đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1;1} \right)\), do đó \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1\left( {3 + t} \right) - 1.\left( {1 - t} \right) + 1.\left( {t + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I\left( { - 2;4; - 1} \right)\end{array}\)

Vì \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AA'\). Do đó \(A'\left( {0;6; - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 0,\,\,b = 6,\,\,c = - 1\\ \Rightarrow P = a + b + c = 0 + 6 + \left( { - 1} \right) = 5.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.