Gọi \(M\) là điểm biểu diễn cho số phức \({z_1} = a + \left( {{a^2} - 2a + 2} \right)i\) (với \(a\) là

Câu hỏi số 401199:

Vận dụng

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn cho số phức \({z_1} = a + \left( {{a^2} - 2a + 2} \right)i\) (với \(a\) là số thực thay đổi) và \(N\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) biết \(\left| {{z_2} - 2 - i} \right| = \left| {{z_2} - 6 + i} \right|\). Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn \(MN\).

A. \(\dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}.\)

B. \(2\sqrt 5 .\)

C. \(1\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401199

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ điểm \(M\).

- Tìm quỹ tích điểm \(N\) là một đường thẳng \(d\), xác định phương trình đường thẳng.

- Khi đó \(M{N_{\min }} \Leftrightarrow MN = d\left( {M;d} \right)\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Giải chi tiết

Ta có \(M\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = a + \left( {{a^2} - 2a + 2} \right)i\) \( \Rightarrow M\left( {a;{a^2} - 2a + 2} \right)\).

Gọi \(N\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \({z_2}\) \( \Rightarrow {z_2} = x + yi.\)

\(\begin{array}{l}\left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x + yi - 6 + i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 12x + 36 + {y^2} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow 8x - 4y - 32 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - y - 8 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường thẳng \(d:\,\,2x - y - 8 = 0\).

Khi đó \(M{N_{\min }} = d\left( {M;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a - \left( {{a^2} - 2a + 2} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} \ge \dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.