Tìm tất cả các cặp số tự nhiên \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(2\left( {{x^2} + {y^2} - 3x + 2y}

Câu hỏi số 401209:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(2\left( {{x^2} + {y^2} - 3x + 2y} \right) - 1\) và \(5\left( {{x^2} + {y^2} + 4x + 2y + 3} \right)\) đều là các số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401209

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lí xuống thang.

Giải chi tiết

+ Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu. Khi đó tồn tại \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}\) sao cho:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x^2} + {y^2} - 3x + 2y} \right) - 1 = {a^2}\\5\left( {{x^2} + {y^2} + 4x + 2y + 3} \right) = {b^2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 7{x^2} + 7{y^2} + 14x + 14y + 14\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 7\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]\end{array}\).

Nói cách phương trình \({A^2} + {B^2} = 7\left( {{X^2} + {Y^2}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm \(\left( {X;Y;A;B} \right)\) với \(X,\,\,Y \in {\mathbb{N}^*}\) và \(A,B \in \mathbb{Z}\).

Ta giả sử \(\left( {X;\,\,Y;\,\,A;\,\,B} \right)\) là bộ nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện \(X + Y\) nhỏ nhất.

+ Từ (1) có \({A^2} + {B^2}\,\, \vdots \,\,7\).

Nhận thấy một số chính phương chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1, 2, 4.

Nên \({A^2} + {B^2}\,\, \vdots \,\,7 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\,\, \vdots \,\,7\\B\,\, \vdots \,\,7\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Đặt \(A = 7{A_1};\,\,\,B = 7{B_1}\)với \({A_1},{B_1} \in \mathbb{Z}\)

Khi đó (1) trở thành

\(\begin{array}{l}49A_1^2 + 49B_1^2 = 7\left( {{X^2} + {Y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {X^2} + {Y^2} = 7\left( {{A_1}^2 + {B_1}^2} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Lập luận tương tự dẫn tới: \(X = 7{X_1};\,\,Y = 7{Y_1}\) với \({X_1},\,\,{Y_1} \in {\mathbb{N}^*}.\)

Thay vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l}49X_1^2 + 49X_2^2 = 7\left( {A_1^2 + A_2^2} \right)\\ \Leftrightarrow A_1^2 + A_2^2 = 7\left( {X_1^2 + X_2^2} \right)\end{array}\)

Do đó \(\left( {{X_1};{Y_1};{A_1};{B_1}} \right)\) cũng là bộ số nguyên dương thỏa mãn \({A_1}^2 + {B_1}^2 = 7\left( {{X_1}^2 + {Y_1}^2} \right)\), mà \({X_1} + {Y_1} < X + Y\), mâu thuẫn với cách chọn \(\left( {X;Y;A;B} \right)\).

Vậy điều giả sử sai nên không có cặp số tự nhiên \(\left( {x;y} \right)\) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link