Chứng minh rằng nếu \(n\) là số nguyên thì \(\dfrac{{{n^5} + 29n}}{{30}}\) cũng là số nguyên.

Câu hỏi số 401208:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401208

Phương pháp giải

Tách \(\dfrac{{{n^5} + 29n}}{{30}} = \dfrac{{{n^5} - n}}{{30}} + n.\)

Chứng minh \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,30\), tức là cần chứng minh \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,5\) và \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,6\).

Giải chi tiết

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{n^5} + 29n}}{{30}} = \dfrac{{{n^5} - n}}{{30}} + n = \dfrac{{n\left( {{n^4} - 1} \right)}}{{30}} + n\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}}{{30}} + n\end{array}\)

Để \(\dfrac{{{n^5} + 29n}}{{30}}\) là số nguyên thì \(\dfrac{{{n^2} - n}}{{30}}\) hay ta cần chứng minh \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,30\).

Vì \(\left( {5;6} \right) = 1\) nên \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,30\) khi và chỉ khi \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,5\) và \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,6\).

* Chứng minh \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,6\)

Với \(n\) nguyên thì \(n - 1;\,\,n;\,\,n + 1\) là 3 số nguyên liên tiếp nên trong 3 số này phải có số chia hết cho 2 và có số chia hết cho 3 \( \Rightarrow \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,6\)\( \Rightarrow {n^5} - n\,\,\, \vdots \,\,\,6.\)

* Chứng minh \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,5\)

+ Nếu \(n\,\, \vdots \,\,5\) thì \({n^5} - n\,\,\, \vdots \,\,\,5\)

+ Nếu \(n\) chia cho 5 có dư là một trong các số 1, 2, 3, 4 thì \({n^4}\) chia cho 5 có dư 1.

\( \Rightarrow {n^4} - 1\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow n\left( {{n^4} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow {n^5} - n\,\,\, \vdots \,\,\,5\)

Vậy \({n^5} - n\,\, \vdots \,\,30\) nên \(\dfrac{{{n^5} + 29n}}{{30}}\) là số nguyên (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link