Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH,\) trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) và \(E\) thứ tự là
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH,\) trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) và \(E\) thứ tự là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\,\,AC.\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABC \sim \Delta HBA.\)
b) Cho \(HB = 4cm,\,\,HC = 9cm.\) Tính \(AB,\,\,DE.\)
c) Chứng minh \(AD.AB = AE.AC\) và \(AM \bot DE.\)
d) Tam giác \(ABC\) phải có điều kiện gì để diện tích tam giác \(ADE\) bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích tứ giác \(BDEC.\)
Quảng cáo
a) Chứng minh \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\) theo trường hợp đồng dạng góc – góc.
b) Chứng minh \(\Delta HAC \sim \Delta HBA\) \( \Rightarrow H{A^2} = HB.HC\)\( \Rightarrow AH \Rightarrow AB,DE\)
c) Chứng minh \(\Delta ABH \sim \Delta AHD\) và \(\Delta ACH \sim \Delta AHE.\)
\( \Rightarrow AB.AD = AC.AE\,\,\,\left( { = A{H^2}} \right)\)
+) Gọi \(AM \cap HE = N\). Chứng minh \(BN \bot AM;\,\,BN//DE \Rightarrow DE \bot AM\)
d) \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{tgBDEC}}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}} = \frac{1}{4}\)
Chứng minh \(\Delta {\rm{ADE}}\) \({\rm{\Delta ACB}}{\rm{.}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{BC}}\\ \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}} = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{AH}}{{BC}} = \frac{1}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow AH \equiv AM \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABC \sim \Delta HBA.\)
Xét \(\Delta {\rm{ABC}}\)và \(\Delta {\rm{HBA}}\) có:
\(\begin{array}{l}\angle BAC = \angle BHA\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle ABH\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
b) Cho \(HB = 4cm,\,\,HC = 9cm.\) Tính \(AB,\,\,DE.\)
Xét \(\Delta {\rm{HAC}}\)và \(\Delta {\rm{HBA}}\) có:
\(\angle AHC = \angle BHA\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle HCA = \angle HAB\) (cùng phụ \(\angle CAH\))
\( \Rightarrow \Delta HAC \sim \Delta HBA\,\,\left( {g - g} \right).\)
\( \Rightarrow \frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}} \Rightarrow H{A^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \Rightarrow HA = 6\)
\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {6^2} + {4^2} = 52\)\( \Rightarrow AB = 2\sqrt {13} cm\)
Tứ giác \(ADHE\) có \(\angle A = \angle D = \angle E = {90^0} \Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow DE = AH = 6cm.\)
c) Chứng minh \(AD.AB = AE.AC\) và \(AM \bot DE.\)
+) Xét \(\Delta {\rm{ABH}}\)và \(\Delta {\rm{AHD}}\) có:
\(\begin{array}{l}\angle H = \angle D\,\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle A\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta AHD\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AD}} \Rightarrow AB.AD = A{H^2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta ACH \sim \Delta AHE\,\,\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AE}} \Rightarrow AC.AE = A{H^2}\)
\( \Rightarrow AB.AD = AC.AE\,\,\,\,\left( { = A{H^2}} \right)\)
+) Gọi \(AM \cap HE = N\)
\(AM\) là trung tuyến của \(\Delta \)vuông \(ABC \Rightarrow AM = BM = CM\)
\( \Rightarrow \Delta ABM\)cân tại \(M\)
\(HN//AB \Rightarrow \frac{{HM}}{{BM}} = \frac{{NM}}{{AM}}\left( {Talet} \right) \Rightarrow HM = NM\)
\( \Rightarrow \Delta HMN\)cân tại \(M\)
Xét \(\Delta AHM\)và \(\Delta BNM\) có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AM = BM\\\angle M\,\,chung\\HM = NM\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \Delta AHM = \Delta BNM \Rightarrow \angle H = \angle N = {90^0} \Rightarrow BN \bot AM\end{array}\)
Xét \(\Delta BHD\)và \(\Delta NAE\) có:
\(\begin{array}{l}\angle D = \angle E\left( { = {{90}^0}} \right)\\HB = AN\\DH = EA\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta BHD = \Delta NAE \Rightarrow BD = NE\) mà \(BD//NE\)
\( \Rightarrow BDEN\) là hình bình hành \( \Rightarrow BN//DE\)
Mà \(BN \bot AM \Rightarrow DE \bot AM\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
d) Tam giác \(ABC\) phải có điều kiện gì để diện tích tam giác \(ADE\) bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích tứ giác \(BDEC.\)
Ta có: \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{tgBDEC}}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}} = \frac{1}{4}\)
Lại có: \(AD.AB = AE.AC \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)
Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta ACB\) có:
\(\begin{array}{l}\angle A\,\,\,chung\\\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ACB\,\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{BC}}\\ \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}} = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{AH}}{{BC}} = \frac{1}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow AH \equiv AM \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
