Với \(a,\,b,\,c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện: \(a + b + c + ab + bc + ca = 6abc\) Chứng minh:

Câu hỏi số 401704:

Vận dụng cao

Với \(a,\,b,\,c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện: \(a + b + c + ab + bc + ca = 6abc\)

Chứng minh: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401704

Phương pháp giải

Đặt \(\frac{1}{a} = x;\frac{1}{b} = y;\frac{1}{c} = z\) và sử dụng các bất đằng thức \({a^2} + 1 \ge 2a;\,\,\,{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(a + b + c + ab + bc + ca = 6abc\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 6\)

Đặt \(\frac{1}{a} = x;\,\,\frac{1}{b} = y;\,\,\frac{1}{c} = z\)\( \Rightarrow yz + xz + xy + x + y + z = 6\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} + )\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge 2x\\{y^2} + 1 \ge 2y\\{z^2} + 1 \ge 2z\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2\left( {x + y + z} \right) - 3\\ + )\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \ge 2xy\\{x^2} + {z^2} \ge 2xz\\{y^2} + {z^2} \ge 2yz\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + zx} \right)\\ \Rightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + zx + x + y + z} \right) - 3 = 2.6 - 3 = 9\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link