Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 402727:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z + 2 = 0\). Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình của mặt cầu tâm \(I\) và đi qua \(A\) là:

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402727

Phương pháp giải

- Viết phương trình đường thẳng \(IA\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm tọa độ điểm \(I = IA \cap \left( P \right)\).

- Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \).

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Giải chi tiết

Vì \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow IA \bot \left( P \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(IA\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IA\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 2t\\z = t\end{array} \right.\).

Gọi \(I\left( {2 + t; - 1 - 2t;t} \right) \in \left( {IA} \right)\). Mà \(I\) \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in \left( P \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + t - 2.\left( { - 1 - 2t} \right) + t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I\left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\)

Khi đó bán kính mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 6 .\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 6 \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.