Trong không gian Oxyz cho hình thang cân ABCD có đáy AB và CD. Biết \(A\left( {3;1; - 2} \right),\) \(B\left( { - 1;3;2} \right),\)\(C\left( { - 6;3;6} \right);\) \(D\left( {a;b;c} \right);\) \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Giá trị \(a + b + c\) bằng

Câu 403005: Trong không gian Oxyz cho hình thang cân ABCD có đáy AB và CD. Biết \(A\left( {3;1; - 2} \right),\) \(B\left( { - 1;3;2} \right),\)\(C\left( { - 6;3;6} \right);\) \(D\left( {a;b;c} \right);\) \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Giá trị \(a + b + c\) bằng

A. \( - 1\).

B. \( 1\).

C. \( 3\).

D. \( - 3.\)

Câu hỏi : 403005

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất hình thang cân: ABCD là hình thang cân nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\)

- \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {BA} \,\,\left( {k > 0} \right)\), tham số hóa tọa độ điểm \(D\).

- Thay vào biểu thức \(\) rồi tìm D.

- Loại trường hợp \(\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} \) cùng phương.

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\)

Ta có: \(A\left( {3;1; - 2} \right);\,\,\,B\left( { - 1;3;2} \right);\,\,\,C\left( { - 6;3;6} \right);\,\,\,D\left( {a;b;c} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \left( {4; - 2; - 4} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {a + 6;b - 3;c - 6} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {BA} \,\,\left( {k > 0} \right)\), khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + 6 = 4k\\b - 3 = - 2k\\c - 6 = - 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4k - 6\\b = - 2k + 3\\c = - 4k + 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {4k - 6; - 2k + 3; - 4k + 6} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC \Leftrightarrow A{D^2} = B{C^2}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4k - 9} \right)^2} + {\left( { - 2k + 2} \right)^2} + {\left( { - 4k + 8} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} + {0^2} + {4^2}\\ \Leftrightarrow 36{k^2} - 144k + 108 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Với \(k = 3 \Rightarrow D\left( {6; - 3; - 6} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {3; - 4; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;0;4} \right)\) không cùng phương (thỏa mãn).

Với \(k = 1 \Rightarrow D\left( { - 2;1;2} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 5;0;4} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;0;4} \right)\) cùng phương (không thỏa mãn).

Vậy \(D\left( {6; - 3; - 6} \right) \Rightarrow a + b + c = - 3.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.