Biết tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c}}

Câu hỏi số 403009:

Vận dụng

Biết tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c}} \)\(;a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a + b + c\) bằng

A. \( - 1.\)

B. \(12.\)

C. \(7.\)

D. \(5.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403009

Phương pháp giải

- Biến đổi lượng giác: \(\dfrac{1}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\).

- Tách thành 2 tích phân, sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C\) và phương pháp đổi biến.

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng \(a + b + c\).

Giải chi tiết

Ta có \(\dfrac{1}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\ \Leftrightarrow I = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - {I_1}\end{array}\)

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó \({I_1} = - \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} = \left. {\dfrac{1}{t}} \right|_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} - 1 = \dfrac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}\).

Vậy \(I = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{{2\sqrt 3 - 3}}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 3}}{3} = \dfrac{{ - \sqrt 3 + 3}}{3}\)

Mà \(I = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c} \Rightarrow a = - 1;\,\,b = 3;\,\,c = 3.\)

Vậy \(a + b + c = - 1 + 3 + 3 = 5.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.