Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), lập phương trình của hypebol biết: Hypebol có cùng tiêu

Câu hỏi số 403224:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), lập phương trình của hypebol biết: Hypebol có cùng tiêu điểm với elip \(\left( E \right):31{x^2} + 200{y^2} = 6200\), tâm sai bằng \(\frac{{13}}{{12}}\).

A. \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

B. \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

C. \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)

D. \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

+) Elip \(\left( E \right):\,\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu điểm là \(F\left( { \pm c;\,\,0} \right)\) với \({c^2} = {a^2} - {b^2}.\)

Hypebol \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+) Xác định \(a,\,\,b,\,\,c\) của \(\left( H \right)\): \({c^2} = {a^2} + {b^2}\)

+) Tâm sai: \(e = \frac{c}{a}\)

Giải chi tiết

\(\left( E \right):31{x^2} + 200{y^2} = 6200\)\( \Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{200}} + \frac{{{y^2}}}{{31}} = 1\)

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a_E^2 = 200\\b_E^2 = 31\end{array} \right.\)\( \Rightarrow c_E^2 = a_E^2 - b_E^2 = 200 - 31 = 169\)\( \Rightarrow c = 13\)

\( \Rightarrow \)Elip \(\left( E \right)\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 13;\,\,0} \right)\), \({F_2}\left( {13;\,\,0} \right)\)

Hypebol \(\left( H \right)\) có cùng tiêu điểm với \(\left( E \right)\) suy ra \(c_H^2 = 169\)\( \Rightarrow c_H^2 = a_H^2 + b_H^2 = 169\)

Tâm sai của hypebol \(\left( H \right)\): \({e_H} = \frac{{13}}{{12}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{c_H}}}{{{a_H}}} = \frac{{13}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{13}}{{{a_H}}} = \frac{{13}}{{12}} \Rightarrow {a_H} = 12.\)

Ta có: \(c_{^H}^2 = a_{^H}^2 + b_{^H}^2\)\( \Rightarrow b_{^H}^2 = c_{^H}^2 - a_{^H}^2 = {13^2} - {12^2} = 25\)

\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của của hypebol \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:403224

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.