Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Biểu

Câu hỏi số 403575:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Biểu thức \(2f\left( x \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( x \right) = \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\) được thỏa mãn \(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\). Tính giá trị \(f\left( 0 \right)\).

A. \(3 - \sqrt 3 \)

B. \(2 - \sqrt 3 \)

C. \( - \sqrt 3 \)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403575

Phương pháp giải

Chia cả 2 vế cho \({\left( {x + 1} \right)^2}\). Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2f\left( x \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( x \right) = \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) + \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)'.f\left( x \right) + \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]' = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {\left[ {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]'dx} = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \end{array}\)

Đặt \(I = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 3\) \( \Rightarrow tdt = xdx\).

Khi đó ta có \(I = \int {\dfrac{{tdt}}{t}} = t + C = \sqrt {{x^2} + 3} + C\).

\( \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} + C\)

Thay \(x = 1\) ta có \(0 = 2 + C \Leftrightarrow C = - 2\).

\( \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} - 2\).

Thay \(x = 0\) ta có: \( - f\left( 0 \right) = \sqrt 3 - 2 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 2 - \sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.