Cho biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx = \dfrac{a}{3} + b\sqrt 3 } \) với \(a,\,\,b\) là

Câu hỏi số 403845:

Vận dụng

Cho biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx = \dfrac{a}{3} + b\sqrt 3 } \) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(\dfrac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a\) bằng

A. \( - 1.\)

B. \(\dfrac{7}{2}.\)

C. \( 8.\)

D. \( 6.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403845

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {\ln x + 3} \).

- Tính tích phân sau khi đổi biến, đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Giải chi tiết

Gọi \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {\ln x + 3} \Rightarrow {t^2} = \ln x + 3 \Rightarrow 2tdt = \dfrac{{dx}}{x}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{t^2}dt} = \left. {\dfrac{{2{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 3 }^2 = \dfrac{{16}}{3} - 2\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow a = 16,\,\,b = - 2.\)

Vậy \(\dfrac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a = \dfrac{1}{{{2^{ - 2}}}} + {\log _2}16 = 4 + 4 = 8.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.