Cho đường tròn \(\left( O \right)\) tâm \(O,\) đường kính \(AB.\) Lấy \(M\) là trung điểm \(OB,\) vẽ

Câu hỏi số 403863:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) tâm \(O,\) đường kính \(AB.\) Lấy \(M\) là trung điểm \(OB,\) vẽ đường tròn \(\left( M \right)\) tâm \(M\) bán kính \(MB.\) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\)và vuông góc với \(AB.\) Trên \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) sao cho dây \(BD\) cắt \(d\) tại \(N.\) Đường thẳng \(AN\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(C,\) đường thẳng \(OC\) cắt \(\left( M \right)\) tại điểm thứ hai là \(P.\)

a) Chứng minh tứ giác \(ADNM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh cung \(BC\) của \(\left( O \right)\) và cung \(BP\) của \(\left( M \right)\) có độ dài bằng nhau.

c) Chứng minh rằng \(\angle MCD = \angle AOD.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403863

Phương pháp giải

a) Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp cơ bản.

b) Chứng minh \(OB = 2MB;\) \(\angle BMP = 2\angle BOP\) và sử dụng công thức độ dài cung \(l = \frac{{{a^0}.\pi }}{{{{180}^0}}}.R\)

c) Chứng minh \(BCNM\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle MBN = \angle MCA\)

\(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle ACD = \angle ABD\)

\( \Rightarrow \angle MCD = \angle MCA + \angle ACD = 2\angle ABD = \angle AOD\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(ADNM\) là tứ giác nội tiếp.

\(d \bot AB \Rightarrow NP \bot AB \Rightarrow \angle AMN = {90^0}\)

\(\Delta DAB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle ADN = {90^0}\)

Xét tứ giác \(ADNM\) ta có:

\(\angle NAM + \angle NDA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow ADNM\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh cung \(BC\) của \(\left( O \right)\) và cung \(BP\) của \(\left( M \right)\)có độ dài bằng nhau.

Vì \(M\) là trung điểm \(OB \Rightarrow OB = 2MB\)

Đặt \(\angle BOP = a^{0} \Rightarrow cungBC\) có độ dài là \({l_1} = \frac{{{a^0}.\pi }}{{{{180}^0}}}.OB\)

Ta có: \(\angle BOP\) là góc nội tiếp chắn cung \(BP\) của \(\left( M \right) \Rightarrow \angle BMP = 2\angle BOP = 2{a^0}\)

\(\Rightarrow cungBP\) có độ dài là \({l_2} = \frac{{2.{a^0}.\pi }}{{{{180}^0}}}.MB = \frac{{{a^0}.\pi }}{{{{180}^0}}}.2MB = \frac{{{a^0}.\pi }}{{{{180}^0}}}.OB = {l_1}\)

Vậy cung \(BC\) của \(\left( O \right)\) và cung \(BP\) của \(\left( M \right)\)có độ dài bằng nhau.

c) Chứng minh rằng \(\angle MCD = \angle AOD.\)

Xét tứ giác \(BCNM\) có:

\(\Delta CAB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle BCA = \angle BCN = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle BCN + \angle BMN = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow BCNM\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(NB\).

\( \Rightarrow \angle MBN = \angle MCA\) (cùng chắn cung \(MN\))

Mà \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle ACD = \angle ABD\)(cùng chắn cung \(AD\))

\( \Rightarrow \angle MCD = \angle MCA + \angle ACD = \angle MBN + \angle ABD = \angle ABD + \angle ABD = 2\angle ABD = \angle AOD\)

Vậy \(\angle MCD = \angle AOD\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link