Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\) và hai điểm \(A\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,B\left( { - 6;\,\,4}

Câu hỏi số 404047:

Vận dụng

Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\) và hai điểm \(A\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,B\left( { - 6;\,\,4} \right)\). Tọa độ điểm \(C \in \left( P \right)\) để tam giác \(ABC\) có diện tích nhỏ nhất là

A. \(C\left( { - \frac{3}{2};\,\,\frac{9}{{16}}} \right)\)

B. \(C\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{9}{{16}}} \right)\)

C. \(C\left( {\frac{9}{{16}};\,\,\frac{3}{2}} \right)\)

D. \(C\left( {\frac{9}{{16}};\,\, - \frac{3}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

+) Gọi \(C\left( {\frac{{{c^2}}}{4};\,\,c} \right) \in \left( P \right)\).

+) \({S_{\Delta ABC}}\,\,\min \Leftrightarrow d\left( {C;\,\,AB} \right)\,\,\min \)

Giải chi tiết

Xét \(\left( P \right):\,\,{y^2} = 4x \Rightarrow 2p = 4 \Leftrightarrow p = 2\).

Gọi \(C\left( {\frac{{{c^2}}}{4};\,\,c} \right) \in \left( P \right)\).

*) Viết phương trình đường thẳng \(AB\).

Theo bài ra, ta có:\(A\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,B\left( { - 6;\,\,4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,\,8} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {0;\,\, - 4} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {4;\,\,3} \right)\) là VTPT là:

\(4.\left( {x - 0} \right) + 3.\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3x + 12 = 0\)

\({S_{\Delta ABC}}\,\,\min \Leftrightarrow d\left( {C;\,\,AB} \right)\,\,\min \)

\(d\left( {C;\,\,AB} \right) = \frac{{\left| {4.\frac{{{c^2}}}{4} + 3c + 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| {{c^2} + 3c + 12} \right|}}{5} = \frac{{\left| {{c^2} + 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot c + \frac{9}{4} + \frac{{39}}{4}} \right|}}{5} = \frac{1}{5}\left| {{{\left( {c + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{39}}{4}} \right| \ge \frac{{39}}{{20}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow c + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\,\,AB} \right)\min \Leftrightarrow c = - \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow C\left( {\frac{9}{{16}};\,\, - \frac{3}{2}} \right)\)

Chọn D

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:404047

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.