Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\) và hai điểm \(A\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,B\left( { - 6;\,\,4}

Câu hỏi số 404047:

Vận dụng

Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\) và hai điểm \(A\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,B\left( { - 6;\,\,4} \right)\). Tọa độ điểm \(C \in \left( P \right)\) để tam giác \(ABC\) có diện tích nhỏ nhất là

A. \(C\left( { - \frac{3}{2};\,\,\frac{9}{{16}}} \right)\)

B. \(C\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{9}{{16}}} \right)\)

C. \(C\left( {\frac{9}{{16}};\,\,\frac{3}{2}} \right)\)

D. \(C\left( {\frac{9}{{16}};\,\, - \frac{3}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404047

Phương pháp giải

+) Gọi \(C\left( {\frac{{{c^2}}}{4};\,\,c} \right) \in \left( P \right)\).

+) \({S_{\Delta ABC}}\,\,\min \Leftrightarrow d\left( {C;\,\,AB} \right)\,\,\min \)

Giải chi tiết

Xét \(\left( P \right):\,\,{y^2} = 4x \Rightarrow 2p = 4 \Leftrightarrow p = 2\).

Gọi \(C\left( {\frac{{{c^2}}}{4};\,\,c} \right) \in \left( P \right)\).

*) Viết phương trình đường thẳng \(AB\).

Theo bài ra, ta có:\(A\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,B\left( { - 6;\,\,4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,\,8} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {0;\,\, - 4} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {4;\,\,3} \right)\) là VTPT là:

\(4.\left( {x - 0} \right) + 3.\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3x + 12 = 0\)

\({S_{\Delta ABC}}\,\,\min \Leftrightarrow d\left( {C;\,\,AB} \right)\,\,\min \)

\(d\left( {C;\,\,AB} \right) = \frac{{\left| {4.\frac{{{c^2}}}{4} + 3c + 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| {{c^2} + 3c + 12} \right|}}{5} = \frac{{\left| {{c^2} + 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot c + \frac{9}{4} + \frac{{39}}{4}} \right|}}{5} = \frac{1}{5}\left| {{{\left( {c + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{39}}{4}} \right| \ge \frac{{39}}{{20}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow c + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\,\,AB} \right)\min \Leftrightarrow c = - \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow C\left( {\frac{9}{{16}};\,\, - \frac{3}{2}} \right)\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.