Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + my = 5\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn \(x + y = 1 - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 3}}.\)

Câu 404074: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + my = 5\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn \(x + y = 1 - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 3}}.\)

A. \(m = \frac{4}{7}\)

B. \(m = - \frac{4}{7}\)

C. \(m = 3\)

D. \(m = - 3\)

Câu hỏi : 404074

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau đó thay vào biểu thức bài cho để tìm \(m.\)

+) Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của hệ phương trình rồi chọn đáp án đúng.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + my = 5\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có: \(y = mx - 2\)

Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3x + m\left( {mx - 2} \right) = 5\)

\( \Leftrightarrow 3x + {m^2}x - 2m = 5\)\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 3} \right)x = 5 + 2m\,\,\,\,\left( * \right)\)

Với mọi \(m \Rightarrow {m^2} + 3 > 0 \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \) hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi \(m.\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow x = \frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 3}}\) \( \Rightarrow y = m.\frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 3}} - 2 = \frac{{5m - 6}}{{{m^2} + 3}}.\)

Vậy với mọi \(m\) thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 3}}\\y = \frac{{5m - 6}}{{{m^2} + 3}}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x + y = 1 - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 3}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 3}} + \frac{{5m - 6}}{{{m^2} + 3}} = 1 - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 3}}\\ \Leftrightarrow 2m + 5 + 5m - 6 = {m^2} + 3 - {m^2}\\ \Leftrightarrow 7m = 4\\ \Leftrightarrow m = \frac{4}{7}.\end{array}\)

Vậy \(m = \frac{4}{7}\) thỏa mãn bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây