Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,\) \(EF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), (\(E,\,\,F\) lần lượt là trung

Câu hỏi số 404144:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,\) \(EF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), (\(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và\(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là:

A. \({30^0}.\)

B. \({45^0}.\)

C. \({60^0}.\)

D. \({90^0}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404144

Phương pháp giải

- Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh ME // AB và MF // CD, từ đó suy ra \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right)\).

- Áp dụng định lí Cosin trong tam giác MEF: \(\cos \angle EMF = \dfrac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}}\), từ đó tính \(\angle EMF\).

- Kết luận: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right) = \angle EMF\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\angle EMF \le {90^0}\\\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right) = {180^0} - \angle EMF\,\,\,khi\,\,\angle EMF > {90^0}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AC.

Ta có:

+ ME là đường trung bình của tam giác ABC nên ME // AB và \(ME = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\).

+ MF là đường trung bình của tam giác ACD nên MF // CD và \(MF = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\).

Do đó \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right)\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác MEF ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle EMF = \dfrac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}} = - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle EMF = {120^0}\end{array}\)

Vậy \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right) = {180^0} - {120^0} = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.