Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x\), cung tròn có phương trình \(y =

Câu hỏi số 404560:

Thông hiểu

Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \) với \(0 \le x \le 4\), trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D.

A. \(8\pi - \dfrac{{16}}{3}\)

B. \(2\pi - \dfrac{{16}}{3}\)

C. \(4\pi + \dfrac{{16}}{3}\)

D. \(4\pi - \dfrac{{16}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404560

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Diện tích hình phẳng D là \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {16 - {x^2}} - \left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} - \int\limits_0^4 {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)dx} \).

Xét \(I = \int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \) .

Đặt \(x = 4\sin t\) \( \Rightarrow dx = 4\cos tdt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 4 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} .4\cos tdt} \\\,\,\,\,\,\,I = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,I = 8\left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 8.\dfrac{\pi }{2} = 4\pi \end{array}\)

Xét \(J = \int\limits_0^4 {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{ - {x^3}}}{6} + {x^2}} \right)} \right|_0^4 = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy \(S = 4\pi - \dfrac{{16}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.