Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \) với \(0 \le x \le 4\), trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D.

Câu 404560: Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \) với \(0 \le x \le 4\), trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D.

A. \(8\pi - \dfrac{{16}}{3}\)

B. \(2\pi - \dfrac{{16}}{3}\)

C. \(4\pi + \dfrac{{16}}{3}\)

D. \(4\pi - \dfrac{{16}}{3}\)

Câu hỏi : 404560

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng D là \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {16 - {x^2}} - \left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} - \int\limits_0^4 {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)dx} \).

Xét \(I = \int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \) .

Đặt \(x = 4\sin t\) \( \Rightarrow dx = 4\cos tdt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 4 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} .4\cos tdt} \\\,\,\,\,\,\,I = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,I = 8\left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 8.\dfrac{\pi }{2} = 4\pi \end{array}\)

Xét \(J = \int\limits_0^4 {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{ - {x^3}}}{6} + {x^2}} \right)} \right|_0^4 = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy \(S = 4\pi - \dfrac{{16}}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.