Cho hình nón có chiều cao bằng 1. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích S. Gọi \({S_d}\) là diện tích đáy của hình nón. Biết \({S} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{4\pi }}{S_d}\). Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng:

Câu 404571: Cho hình nón có chiều cao bằng 1. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích S. Gọi \({S_d}\) là diện tích đáy của hình nón. Biết \({S} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{4\pi }}{S_d}\). Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng:

A. \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 3} \right)\pi }}{6}\)

B. \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi }}{2}\)

C. \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi }}{4}\)

D. \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 3} \right)\pi }}{{12}}\)

Câu hỏi : 404571

Phương pháp giải:

- Gọi R là bán kính đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago tính cạnh của thiết diện.

- Tính diện tích của thiết diện và diện tích đáy của hình nón theo R.

- Thay vào giả thiết \(S = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{4\pi }}{S_d}\) tìm R.

- Diện tích toàn phần của hình nón có kính đáy R và đường sinh \(l\) là: \({S_{tp}} = \pi {R^2} + \pi Rl\).

Đáp án : C
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi R là bán kính đáy của hình nón.

Cạnh của thiết diện là: \(SA = \sqrt {S{O^2} + {R^2}} = \sqrt {1 + {R^2}} \).

Diện tích thiết diện là: \(S = \dfrac{{S{A^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\left( {1 + {R^2}} \right).\sqrt 3 }}{4}\).

Diện tích đáy của hình nón là \({S_d} = \pi {R^2}\).

Ta có: \(S = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{4\pi }}{S_d} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {1 + {R^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\pi {R^2}.5\sqrt 3 }}{{4\pi }}\) \( \Leftrightarrow R = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SA = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = l\).

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: \({S_{tp}} = \pi {R^2} + \pi Rl = \pi .\dfrac{1}{4} + \pi .\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi }}{4}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.