Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho \(MA.BC + MB.CA + MC.AB\) đạt giá
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho \(MA.BC + MB.CA + MC.AB\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Quảng cáo
Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
Xét một điểm M bất kì trong tam giác, tia AM cắt cạnh BC ở D .
Kẻ \(BE \bot AD,\,\,CF \bot AD\). Ta có:
\(BE \le BD\)\( \Rightarrow AM.BE \le AM.BD\)
\(CF \le CD \Rightarrow AM.CF \le AM.CD\)
\( \Rightarrow \left( {BE + CF} \right).AM \le \left( {BD + CD} \right).AM\).
Nhưng:
\(\begin{array}{l}BE.AM = 2{S_{AMB}}\\CF.AM = 2{S_{AMC}}\\BD + DC = BC\end{array}\)
Do đó \(2\left( {{S_{AMB}} + {S_{AMC}}} \right) \le BC.AM\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi E và F trùng với D. Khi đó \(AM \bot BC\).
Tương tự ta có:
\(\begin{array}{l}2\left( {{S_{ABM}} + {S_{CBM}}} \right) \le AC.BM\,\,\,\left( 2 \right)\\2\left( {{S_{CBM}} + {S_{ACM}}} \right) \le AB.CM\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra: \(4\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}} + {S_{CBM}}} \right) \le MA.BC + MB.CA + MC.AB\).
Do dó: \(\min \left( {MA.BC + MB.CA + MC.AB} \right) = 4{S_{ABC}}\) khi và chỉ khi \(AM \bot BC\), \(BM \bot AC\), \(CM \bot AB\), khi đó M là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
