Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho \(MA.BC + MB.CA + MC.AB\) đạt giá

Câu hỏi số 404708:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho \(MA.BC + MB.CA + MC.AB\) đạt giá trị nhỏ nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404708

Phương pháp giải

Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.

Giải chi tiết

Xét một điểm M bất kì trong tam giác, tia AM cắt cạnh BC ở D .

Kẻ \(BE \bot AD,\,\,CF \bot AD\). Ta có:

\(BE \le BD\)\( \Rightarrow AM.BE \le AM.BD\)

\(CF \le CD \Rightarrow AM.CF \le AM.CD\)

\( \Rightarrow \left( {BE + CF} \right).AM \le \left( {BD + CD} \right).AM\).

Nhưng:

\(\begin{array}{l}BE.AM = 2{S_{AMB}}\\CF.AM = 2{S_{AMC}}\\BD + DC = BC\end{array}\)

Do đó \(2\left( {{S_{AMB}} + {S_{AMC}}} \right) \le BC.AM\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi E và F trùng với D. Khi đó \(AM \bot BC\).

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}2\left( {{S_{ABM}} + {S_{CBM}}} \right) \le AC.BM\,\,\,\left( 2 \right)\\2\left( {{S_{CBM}} + {S_{ACM}}} \right) \le AB.CM\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: \(4\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}} + {S_{CBM}}} \right) \le MA.BC + MB.CA + MC.AB\).

Do dó: \(\min \left( {MA.BC + MB.CA + MC.AB} \right) = 4{S_{ABC}}\) khi và chỉ khi \(AM \bot BC\), \(BM \bot AC\), \(CM \bot AB\), khi đó M là trực tâm của \(\Delta ABC\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link