Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + 3.\) Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) (với \({x_A} < {x_B}\)) là các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \({x_A} < {x_C} < {x_B}.\) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(ABC.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Vẽ đồ thị các hàm số. Tìm tọa độ các điểm A, B. Sau đó tính diện tích tam giác bằng cách cộng các diện tích tam giác nhỏ.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:
\(\frac{1}{2}{x^2} = \frac{1}{2}x + 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 2\\{x_B} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 2;2} \right)\\B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)\end{array} \right..\)
Gọi \(H,K,I\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B,C\) lên \(Ox.\) Ta có: \(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = {S_{AHKB}} - {S_{AHIC}} - {S_{BKIC}} = \frac{{AH + BK}}{2}.HK - \frac{{AH + CI}}{2}.IH - \frac{{BK + CI}}{2}.IK\\ = \frac{{2 + \frac{9}{2}}}{2}.5 - \frac{{2 + CI}}{2}.IH - \frac{{\frac{9}{2} + CI}}{2}.IK\\ = \frac{{65}}{4} - \left( {IH + \frac{9}{4}IK} \right) - \frac{{CI}}{2}.\left( {IH + IK} \right)\\ = \frac{{65}}{4} - \left( {HK + \frac{5}{4}IK} \right) - \frac{{CI}}{2}.HK\\ = \frac{{65}}{4} - \left( {5 + \frac{5}{4}IK} \right) - \frac{{CI}}{2}.5.\end{array}\)
Gọi \(C\left( {a;\,\,\frac{1}{2}{a^2}} \right)\) với \( - 2 < a < 3\) thì ta có:
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{65}}{4} - \left( {5 + \frac{5}{4}\left( {3 - a} \right)} \right) - \frac{{\frac{1}{2}{a^2}}}{2}.5\)\( = \frac{{ - 5}}{4}{a^2} + \frac{5}{4}a + \frac{{15}}{2}\)\( = \frac{{ - 5}}{4}{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{125}}{{16}} \le \frac{{125}}{{16}}.\)
Vậy diện tích tam giác \(ABC\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{125}}{{16}}\) khi \(a = \frac{1}{2}\) hay \(C\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{8}} \right).\)
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
