Cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 6 = 0.\) Tìm tất cả các giá trị của

Câu hỏi số 405484:

Vận dụng cao

Cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 6 = 0.\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = \left( {x_1^2 - 4} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)\) có giá trị lớn nhất.

A. \(m = \frac{4}{3}\)

B. \(m = \frac{2}{3}\)

C. \(m = \frac{3}{4}\)

D. \(m = 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405484

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) và áp dụng hệ thức Vi-et để tìm \(m\) thỏa mãn bài toán.

Giải chi tiết

\({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 6 = 0.\)

Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 6} \right) = {m^2} - 6m + 25\) \( = {\left( {m - 3} \right)^2} + 16 > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \( = \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 - m\\{x_1}{x_2} = m - 6\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {x_1^2 - 4} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right) = x_1^2x_2^2 - 4\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16\\\,\,\,\,\, = x_1^2x_2^2 - 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 8{x_1}{x_2} + 16\\\,\,\,\,\, = {\left( {m - 6} \right)^2} - 4{\left( {1 - m} \right)^2} + 8\left( {m - 6} \right) + 16\\\,\,\,\, = {m^2} - 12m + 36 - 4 + 8m - 4{m^2} + 8m - 48 + 16\\\,\,\,\, = - 3{m^2} + 4m = - 3\left( {{m^2} - \frac{4}{3}m} \right)\,\\\,\,\,\, = - 3\left( {{m^2} - 2.\frac{2}{3}m + \frac{4}{9}} \right) + \frac{4}{3}\\\,\,\,\,\, = - 3{\left( {m - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \le \frac{4}{3}.\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{4}{3}\) khi \(m = \frac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link