Cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 6 = 0.\) Tìm tất cả các giá trị của

Câu hỏi số 405484:

Vận dụng cao

Cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 6 = 0.\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = \left( {x_1^2 - 4} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)\) có giá trị lớn nhất.

A. \(m = \frac{4}{3}\)

B. \(m = \frac{2}{3}\)

C. \(m = \frac{3}{4}\)

D. \(m = 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405484

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) và áp dụng hệ thức Vi-et để tìm \(m\) thỏa mãn bài toán.

Giải chi tiết

\({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 6 = 0.\)

Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 6} \right) = {m^2} - 6m + 25\) \( = {\left( {m - 3} \right)^2} + 16 > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \( = \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 - m\\{x_1}{x_2} = m - 6\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {x_1^2 - 4} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right) = x_1^2x_2^2 - 4\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16\\\,\,\,\,\, = x_1^2x_2^2 - 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 8{x_1}{x_2} + 16\\\,\,\,\,\, = {\left( {m - 6} \right)^2} - 4{\left( {1 - m} \right)^2} + 8\left( {m - 6} \right) + 16\\\,\,\,\, = {m^2} - 12m + 36 - 4 + 8m - 4{m^2} + 8m - 48 + 16\\\,\,\,\, = - 3{m^2} + 4m = - 3\left( {{m^2} - \frac{4}{3}m} \right)\,\\\,\,\,\, = - 3\left( {{m^2} - 2.\frac{2}{3}m + \frac{4}{9}} \right) + \frac{4}{3}\\\,\,\,\,\, = - 3{\left( {m - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \le \frac{4}{3}.\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{4}{3}\) khi \(m = \frac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link