Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB < AC\) và trực tâm là T. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB < AC\) và trực tâm là T. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC; I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC; E và F lần lượt là trung điểm của AC và IH.
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng.
b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng và DEF là tam giác vuông.
c) Chứng minh \(\frac{{BC}}{{DH}} = \frac{{AB}}{{DI}} + \frac{{AC}}{{DK}}.\)
Quảng cáo
a) Chứng minh các tứ giác BIDH, KCDH nội tiếp rồi sử dụng các góc bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta FDE \sim \Delta HDC\).
c) Dùng tỉ số lượng giác.
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng.
Vì D đối xứng với T qua H nên tam giác BTD cân tại B, suy ra \(\angle HBT = \angle HBD.\)
Lại có: \(\angle HBT = \angle HAC\) (cùng phụ với \(\angle ACB\)) \( \Rightarrow \angle HBD = \angle HAC\) \( \Rightarrow ABDC\) là tứ giác nội tiếp.
Dễ thấy các tứ giác BIDH, KCDH nội tiếp.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle HID = \angle HBD = \angle HAC\\\angle IHD = \angle IBD = \angle ACD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta ACD \sim \Delta IHD\,\,\,\left( {g - g} \right).\)
b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng và DEF là tam giác vuông.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle IHD = \angle ACD\\\angle ACD = \angle AHK\end{array} \right. \Rightarrow \angle IHD = \angle AHK \Rightarrow I,H,K\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow \Delta ACD \sim \Delta IHD\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \Delta ECD \sim \Delta FHD.\)
\( \Rightarrow \frac{{FD}}{{DH}} = \frac{{ED}}{{CD}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta ECD \sim \Delta FHD \Rightarrow \angle EDC = \angle FDH\)\( \Rightarrow \angle HDC = \angle FDE\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \Delta FDE \sim \Delta HDC \Rightarrow \Delta FDE\) vuông tại F.
c) Chứng minh \(\frac{{BC}}{{DH}} = \frac{{AB}}{{DI}} + \frac{{AC}}{{DK}}.\)
\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{DI}} + \frac{{AC}}{{DK}} = \frac{{AI - IB}}{{DI}} + \frac{{AK + KC}}{{DK}}\\ = \left( {\frac{{AI}}{{DI}} + \frac{{AK}}{{DK}}} \right) + \left( {\frac{{KC}}{{DK}} - \frac{{IB}}{{DI}}} \right)\\ = \left( {\cot \angle BAH + \cot \angle CAH} \right) + \left( {\tan \angle KDC - \tan \angle BDI} \right)\end{array}\)
Mà \(\angle KDC = \angle KHC = \angle IHB = \angle BDI\) \( \Rightarrow \tan \angle KDC = \tan \angle BDI\)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{DI}} + \frac{{AC}}{{DK}} = \cot \angle BAH + \cot \angle CAH\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{DH}} = \frac{{BH}}{{DH}} + \frac{{CH}}{{DH}} = \cot \angle HBD + \cot \angle HCD\\ = \cot \angle HAC + \cot \angle HAB\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)
Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow \frac{{BC}}{{DH}} = \frac{{AB}}{{DI}} + \frac{{AC}}{{DK}}.\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
