Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2√3a , BD = 2a và cắt nhau tại O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, và góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) với (SBD).

Câu hỏi số 40554:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2√3a , BD = 2a và cắt nhau tại O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, và góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) với (SBD).

A. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{5}a^3}{3}$ ; $\widehat{(SAB);(SBD)}$ = arccos $\frac{1}{4}$

B. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{3}a^3}{3}$ ; $\widehat{(SAB);(SBD)}$ = arccos $\frac{1}{8}$

C. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{3}a^3}{3}$ ; $\widehat{(SAB);(SBD)}$ = arccos2

D. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{3}a^3}{3}$ ; $\widehat{(SAB);(SBD)}$ = arccos $\frac{1}{4}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40554

Giải chi tiết

Từ giả thiết AC = 2a√3; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có ∆ABO vuông tại O và AO = a√3; BO = a. Gọi K là hình chiếu của O trên AB, gọi I là hình chiếu của O trên SK.

Từ giả thiết 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)

Ta chứng minh được khoảng cách O tới (SAB) là đoạn OI

Ta có trong tam giác vuông AOB ta có:

$\frac{1}{OK^{2}}$ = $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OD^{2}}$ = $\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{3a^{2}}$ => OK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao

=> $\frac{1}{OI^{2}}$ = $\frac{1}{OK^{2}}$ + $\frac{1}{SO^{^{2}}}$ => SO = $\frac{a}{2}$ .

Diện tích đáy S_ABCD= 4S_∆ABO= 2.OA.OB = 2√3a²

Đường cao của hình chóp SO = $\frac{a}{2}$

Thể tích khối chóp S.ABCD: V_S.ABCD= $\frac{1}{3}$ S_ABCD.SO = $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$

Ta có hình chiếu của tam giác SAB trên mặt phẳng (SBD) là ∆SBO

Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SBD) ta có cosα = $\frac{S_{SBO}}{S_{SAB}}$

Ta có S_SBO= $\frac{1}{2}$ OB.SO = $\frac{a^e_2}{4}$ , SK = a => S_SAB= a²

=> cosα = $\frac{1}{4}$ => α = arccos $\frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.