Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2},\) các đường thẳng \(\left(

Câu hỏi số 406188:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2},\) các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - \frac{1}{4}x.\) Viết phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\), biết \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(\sqrt 5 AB = \sqrt {17} OI,\) với \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB.\)

A. \({d_2}:y = 4x + 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x - 3.\)

B. \({d_2}:y = 4x - 2\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 4.\)

C. \({d_2}:y = 4x + 2\) hoặc \({d_2}:y = 4x - 4.\)

D. \({d_2}:y = 4x - 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 3.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406188

Phương pháp giải

Ta có \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow {d_2}:y = 4x + b\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( 1 \right)\) của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( P \right).\)

\({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y = - \frac{1}{4}x\)

Vì \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow {d_2}:y = 4x + b\)

Phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( P \right)\): \(2{x^2} = 4x + b \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - b = 0 \left( 1 \right)\)

\({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2b > 0 \Leftrightarrow b > - 2\)

Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \({d_2}\) và \(\left( P \right).\) Khi đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của \(\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow A\left( {{x_1};\,\,4{x_1} + b} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,4{x_2} + b} \right).\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - \frac{b}{2}\end{array} \right..\)

Ta có: \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\,\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {1;\,\,4 + b} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{I^2} = 1 + {\left( {4 + b} \right)^2} = {b^2} + 8b + 17\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {4{x_2} - 4{x_1}} \right)^2} = 17.{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2}\\ = 17{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 68{x_1}{x_2}\\ = {17.2^2} - 68.\left( { - \frac{b}{2}} \right) = 17.4 + 34b = 17\left( {4 + 2b} \right)\\ \Rightarrow \sqrt 5 AB = \sqrt {17} OI \Leftrightarrow 5A{B^2} = 17OI\\ \Leftrightarrow 5.17\left( {4 + 2b} \right) = 17\left( {{b^2} + 8b + 17} \right)\\ \Leftrightarrow 20 + 10b = {b^2} + 8b + 17\\ \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 1\\b = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({d_2}:y = 4x - 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 3.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link