Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2},\) các đường thẳng \(\left(

Câu hỏi số 406188:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2},\) các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - \frac{1}{4}x.\) Viết phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\), biết \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(\sqrt 5 AB = \sqrt {17} OI,\) với \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB.\)

A. \({d_2}:y = 4x + 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x - 3.\)

B. \({d_2}:y = 4x - 2\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 4.\)

C. \({d_2}:y = 4x + 2\) hoặc \({d_2}:y = 4x - 4.\)

D. \({d_2}:y = 4x - 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 3.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406188

Phương pháp giải

Ta có \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow {d_2}:y = 4x + b\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( 1 \right)\) của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( P \right).\)

\({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y = - \frac{1}{4}x\)

Vì \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow {d_2}:y = 4x + b\)

Phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( P \right)\): \(2{x^2} = 4x + b \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - b = 0 \left( 1 \right)\)

\({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2b > 0 \Leftrightarrow b > - 2\)

Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \({d_2}\) và \(\left( P \right).\) Khi đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của \(\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow A\left( {{x_1};\,\,4{x_1} + b} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,4{x_2} + b} \right).\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - \frac{b}{2}\end{array} \right..\)

Ta có: \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\,\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {1;\,\,4 + b} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{I^2} = 1 + {\left( {4 + b} \right)^2} = {b^2} + 8b + 17\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {4{x_2} - 4{x_1}} \right)^2} = 17.{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2}\\ = 17{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 68{x_1}{x_2}\\ = {17.2^2} - 68.\left( { - \frac{b}{2}} \right) = 17.4 + 34b = 17\left( {4 + 2b} \right)\\ \Rightarrow \sqrt 5 AB = \sqrt {17} OI \Leftrightarrow 5A{B^2} = 17OI\\ \Leftrightarrow 5.17\left( {4 + 2b} \right) = 17\left( {{b^2} + 8b + 17} \right)\\ \Leftrightarrow 20 + 10b = {b^2} + 8b + 17\\ \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 1\\b = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({d_2}:y = 4x - 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 3.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link