Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’. 1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK. 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).

Câu hỏi số 40693:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 120⁰. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’.

1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).

A. V_A.A’BK = $\frac{a^3\sqrt{15}}{12}$ , R = $\frac{a\sqrt{21}}{2}$ , d(I,(A'BK)) = $\frac{a\sqrt{5}}{6}$

B. V_A.A’BK = $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$ , R = $\frac{a\sqrt{21}}{3}$ , d(I,(A'BK)) = $\frac{a\sqrt{5}}{6}$

C. V_A.A’BK = $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$ , R = $\frac{a\sqrt{21}}{2}$ , d(I,(A'BK)) = $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

D. V_A.A’BK = $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$ , R = $\frac{a\sqrt{21}}{2}$ , d(I,(A'BK)) = $\frac{a\sqrt{5}}{6}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40693

Giải chi tiết

1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

Do CK // (AA'B) nên ta có

V_A.A’BK = V_K.AA’B = V_C.AA’B = V_A’.ABC = $\frac{1}{3}$ . S_ABC. AA’.

S_{ABC = AB.AC. sin120⁰ =}

Vậy V_A.A’BK = $\frac{1}{3}$ . $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$ . 2a√5 = $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$

2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK.

Tam giác ABC có

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC. cos120⁰ = 7a²

BK² = BC² + CK²= 7a² + (a√5)² = 12a²

A’K² = A’C’² + C’K²= 4a² + 5a² = 9a²

A’B² = AA’² + AB² = 21 a² => A’B² = A’K² + BK² => tam giác A’BK vuông tại K.

Ta có $\widehat{A'KB}$ = $\widehat{A'B'B}$ = 90⁰

=> 4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính

R = $\frac{1}{2}$ A’B = $\frac{a\sqrt{21}}{2}$ .

*Tính khoảng cách từ I đến (A'BK)

Gọi F là trung điểm của A'B' => IF // (A'BK) => d(I, (A'BK)) = d(F, (A'BK))

Do E là trung điểm của AB' => d(F, (A'BK)) = $\frac{1}{2}$ d(B',(A'BK)) = $\frac{1}{2}$ d(A,(A'BK))

Tam giác A'BK có BK ⊥ A'K => S_A’BK = $\frac{1}{2}$ A’K. BK = $\frac{1}{2}$ . 3a. 2a√3 = 3a²√3

V_A.A’BK = $\frac{1}{3}$ . S_A’BK. d(A,(A'BK)) => d(A,(A'BK)) = $\frac{a\sqrt{5}}{3}$ .

Vậy d(I,(A'BK)) = $\frac{1}{2}$ . $\frac{a\sqrt{5}}{3}$ = $\frac{a\sqrt{5}}{6}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.