Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB = 2AD, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và CD. Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo a. (a

Câu hỏi số 40705:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB = 2AD, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 60⁰. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và CD. Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo a. (a > 0).

A. V_OMNP = $\frac{5}{188}$ a³(đvtt)

B. V_OMNP = $\frac{5}{288}$ a³(đvtt)

C. V_OMNP = $\frac{4}{288}$ a³(đvtt)

D. V_OMNP = $\frac{4}{388}$ a³(đvtt)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40705

Giải chi tiết

+ Hình vẽ:

Đặt AD = x. Suy ra AB = 2x (x > 0)

Gọi AH là đường cao ∆ABD.

Ta có: $\frac{1}{AH^{2}}$ = $\frac{1}{AD^{2}}$ + $\frac{1}{AB^{2}}$ = $\frac{5}{4x^{2}}$

→ AH = $\frac{2x}{\sqrt{5}}$

Mặt khác: BD ⊥ AH và BD ⊥ SA → BD ⊥ (SAH)→ BD ⊥ SH

Vậy góc giữa (ABCD) và (SBD) bằng góc $\angle$ SHA và bằng 60⁰.

Khi đó: AH = $\frac{SA}{tan 60^{0}}$ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Vậy nên: $\frac{2x}{\sqrt{5}}$ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ → x = $\sqrt{\frac{5}{12}}$ a

Suy ra: AD = $\sqrt{\frac{5}{12}}$ a; AB = 2. $\sqrt{\frac{5}{12}}$ a

Ta có: V_C.SBD= V_S.BCD = $\frac{1}{3}$ .SA. $\frac{1}{2}$ .S_ABCD = $\frac{1}{3}$ .a. $\frac{1}{2}$ . $\sqrt{\frac{5}{12}}$ a.2. $\sqrt{\frac{5}{12}}$ a = $\frac{5}{36}$ a³.

Vì P là trung điểm DC nên: 2d(P, (SBD)) = d(C,(SBD)).

Vì M, N, O lần lượt là trung điểm của các cạnh tam giác SBD nên:

dt (∆SBD) = 4.dt(∆OMN)

Ta có: $\frac{V_{P.OMN}}{V_{C.SBD}}$ = $\frac{\frac{1}{3}d(P,(OMN)).S_{OMN}}{\frac{1}{3}d(C,(SBD)). S_{SBD}}$ = $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{8}$

→ V_P.OMN = $\frac{1}{8}$ . V_C.SBD = $\frac{1}{8}$ . $\frac{5}{36}$ a³

= $\frac{5}{288}$ a³(đvtt).

Vậy thể tích cần tính là: V_OMNP = $\frac{5}{288}$ a³(đvtt).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.