Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 40825:

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$ + $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{xz}$ + $\frac{1}{yz}$ .

A. minP = $\frac{1}{9}$

B. minP = - $\frac{1}{9}$

C. minP = - $\frac{10}{9}$

D. minP = $\frac{10}{9}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40825

Giải chi tiết

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

(xy + yz + zx) ( $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{xz}$ + $\frac{1}{yz}$ ) ≥ 3 $\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}$ . $\frac{3}{\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}}$ = 9

=> $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{xz}$ + $\frac{1}{yz}$ ≥ $\frac{9}{xy + yz + zx}$ .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Khi đó P ≥ $\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$ + $\frac{9}{xy + yz + zx}$

= $\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$ + $\frac{1}{xy + yz + zx}$ + $\frac{1}{xy + yz + zx}$ + $\frac{7}{xy + yz + zx}$

≥ $\frac{3}{\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}}$ + $\frac{7}{xy + yz + zx}$

Mặt khác

$\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}$ ≤ $\frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3}$ = $\frac{(x+y+z)^{2}}{3}$ = 9

x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx

<=> x² + y² + z²+ 2xy + 2yz + 2zx ≥ 3xy + 3yz + 3zx

<=> (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx)

<=> xy + yz + zx ≤ 9

Vậy p ≥ $\frac{3}{9}$ + $\frac{7}{9}$ = $\frac{10}{9}$

Vậy minP = $\frac{10}{9}$ .

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = √3.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.