Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi \(AB = a,\,\widehat {ABC} = {60^0}\). \(SA \bot \left(

Câu hỏi số 410237:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi \(AB = a,\,\widehat {ABC} = {60^0}\). \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và SC tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({45^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{4}\).

B. \(V = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{12}}\).

C. \(V = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{24}}\).

D. \(V = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{6}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410237

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\Delta ABC\) đều, sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh a là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

- Xác định góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (SAB).

- Sử dụng tỉ số lượng giác và định lí Pytago tính độ dài SA.

- Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Tam giác ABC có AB = BC, \(\,\angle ABC = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, có cạnh \(AB = a\)\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow CI \bot AB\) (do tam giác ABC đều).

Mà \(CI \bot SA \Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \) Hình chiếu của SC lên (SAB) là SI.

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SI} \right) = \angle ISC = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SIC\) vuông cân tại I \( \Rightarrow SI = IC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\Delta SAI\) vuông tại A \( \Rightarrow SA = \sqrt {S{I^2} - A{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.