Cho tam giác \(ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và có trực
Cho tam giác \(ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và có trực tâm \(H.\) Ba điểm \(D,E,F\)lần lượt là chân các đường cao vẽ từ \(A,B,C\) của tam giác \(ABC.\) Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC,P\) là giao điểm của \(EF\) và \(BC.\) Đường thẳng \(DF\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HEF\) tại điểm thứ hai là \(K\).
a) Chứng minh \(PB.PC = PE.PF\) và \(KE\) song song với \(BC\).
b) Đường thẳng \(PH\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HEF\) tại điểm thứ hai là \(Q.\)
Chứng minh tứ giác \(BIQF\)nội tiếp đường tròn.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(PB.PC = PE.PF\) và \(KE\) song song với \(BC\).
Tứ giác \(BCEF\) có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\) cùng nhìn đoạn \(BC\)
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle FCB = \angle BEF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\))
Xét \(\Delta PBE\) và \(\Delta PFC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle EPC\,\,\,chung\\\angle PEB = \angle FCB\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta PBE \sim \Delta PFC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{PB}}{{PF}} = \frac{{PE}}{{PC}} \Rightarrow PB.PC = PE.PF\end{array}\)
Tứ giác \(BDHF\) có: \(\angle BDH + \angle BFH = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow BDHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle EBC = \angle EFC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\))
Gọi \(J\) là trung điểm của \(AH.\)
\( \Rightarrow \Delta HEF\) nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AH}}{2}} \right).\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(HEKF\) nội tiếp đường tròn \(\left( J \right)\)
\( \Rightarrow \angle DFH = \angle HEK\,\,\,\left( { = {{180}^0} - \angle HKF} \right)\)
Mà \(\angle EBC = \angle EFC\)\( \Rightarrow \angle EBC = \angle HEK\)\( \Rightarrow KE//BC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
b) Đường thẳng \(PH\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HEF\) tại điểm thứ hai là \(Q.\)
Chứng minh tứ giác \(BIQF\)nội tiếp đường tròn.
Ta chứng minh được: \(\angle IEH = \angle EBC = \angle HEF\) \( \Rightarrow \angle IEH = \frac{1}{2}sdcungHE\)
\( \Rightarrow EI\) là tiếp tuyến của \(\left( J \right)\)
\( \Rightarrow \angle IEF = \angle EAF = \angle BHF = \angle FDB\)
\( \Rightarrow DIEF\)là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Ta có: \(\Delta PDF \sim \Delta PEI\,\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow PD.PI = PE.PF\)
\(\Delta PHE \sim \Delta PFQ\,\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow PE.PF = PH.PQ\)
\( \Rightarrow PD.PI = PH.PQ \Rightarrow \frac{{PD}}{{PQ}} = \frac{{PH}}{{PI}}\)
\( \Rightarrow \Delta PDH \sim \Delta PQI\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \angle PHD = \angle PIQ\)
Lại có: \(\angle PHD = \angle AHQ = \angle AFQ\)
\( \Rightarrow \angle AFQ = \angle PIQ \Rightarrow BIQF\) là tứ giác nội tiếp.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
